Du plot au rouleau ou au culbuto

Sur le chantier de la pyramide de Chéops, les pierres de remplissage dans leurs périples cumulés faisaient 300 KM par jour, le tour de la terre tous les 6 mois et en 5 ans le trajet terre lune!

Il fallait donc une solution de mobilité à la hauteur de cet enjeu car les traîneaux glissant sur piste lubrifiée ne faisaient pas l’affaire.

Pour les bipèdes que nous sommes, la solution trouvée par la nature pour nous faire nous déplacer sur terre est de faire pivoter le corps sur une jambe en lui faisant décrire un arc de cercle, tout en le déplaçant latéralement pour que le centre de gravité reste dans le polygone de sustentation, puis la deuxième jambe prend le relais et ainsi de suite. En fait notre corps SE DÉPLACE DANS L’AIR en prenant appui sur les articulations de nos pieds, cependant à chaque pas, le pivotement sur une jambe élève notre centre de gravité, le travail pour lui donner ce supplément d’énergie potentielle est donnée par nos muscles, depuis ce sommet, le corps ensuite retombe dans une trajectoire circulaire en transformant l’énergie acquise en énergie cinétique, la composante horizontale de cette énergie est récupérée pour le pas suivant et maintient la vitesse de déplacement acquise, la composante verticale est perdue et se transforme en chaleur. Une petite foulée est économe en calories, une grande foulée consomme.

Si une charge est portable à dos d’homme elle voyage aussi dans les airs, mais sa masse augmente d’autant la consommation de calories.

Quand la charge est trop lourde pour être portée, elle reste au sol et le moyen le plus immédiat pour la déplacer reste de la faire glisser.

Il y a un glissement très performant qui a été utilisé très tôt c’est celui d’une embarcation dans l’eau, solution toujours d’actualité maritime ou fluviale, généralement réservée aux longs trajets et aux charges très lourdes, mais sur un plateau désertique, il vaut mieux oublier cela.

L’autre solution « évidente » est de faire glisser la charge, le plus souvent portée par un traîneau sur une piste lubrifiée pour diminuer autant que possible le frottement. Cette solution apparemment simple est trop consommatrice en effectif car le coefficient de frottement du traîneau sur la piste est de l’ordre de 0.2 ce qui équivaut à faire monter le traîneau et sa charge sur une pente à 20%.

Plus exigeant en technologie, le déplacement sur roue, sur rouleaux circulaires, voire sur sphère divise plus de cent fois la consommation en énergie par rapport au traîneau.

Pour les pierres très lourdes des pyramides, la solution de la roue aurait été envisageable à l’époque bien qu’ils en aient laissé aucune trace, sauf bien plus tard avec celle des chars, par contre le déplacement sur rouleaux circulaires nous apparaît en général comme plus facilement accessible et « naturel », mais ces deux solutions présentait 3 inconvénients fâcheux,

1- Il fallait une piste de roulement parfaitement propre dans un environnement envahi par le sable et les gravats des carrières, sinon le rouleau s’enlise, tous ceux qui ont fait du 4 x 4 dans le désert ou du vélo sur une plage connaissent ça !

2- Il est impossible de faire changer de direction une charge portée par des roues à moins d’avoir la technologie de l’essieu orientable ce qui sous des charges pouvant atteindre la centaine de tonne n’aurait probablement pas été accessible à l’époque, quand aux rouleaux circulaires, ils sont impossible à orienter sous charge à part qu’ils ont la fâcheuse propension naturelle pour un oui ou pour un non à se mettre en travers de la progression, bloquant celle-ci.

3-Impossible de placer de tels rouleaux et roues en attente sur une piste en pente, sans un dispositif de blocage, pour éviter par exemple que la charge hissée sur une pente retourne seule en arrière en cas d’incident sur la traction.

Le roulement sphérique souffrait des mêmes inconvénients, il aurait permis cependant les changements de direction, les anciens égyptiens qui nous ont habitué à la réalisations de sculptures parfaites, auraient sans doute été capables techniquement de réaliser des sphères parfaites, mais en fabriquer des dizaines de milliers identiques auraient été certainement trop coûteux.

Il est permis de penser que les anciens égyptiens de la IV dynastie, observateurs attentifs de la nature, ont choisi de copier la solution que mère nature a mis des millions d’années à perfectionner.

FAIRE « MARCHER » LES PIERRES DANS LES AIRS SI LOURDES SOIENT ELLES.

En effet tous mes mammifères progressent dans l’air portés sur leurs pattes, dans une cinématique de rotation / pivotement, en passant leur poids d’un côté à l’autre alternativement pour laisser les pattes arrières revenir sur l’avant.

Ces membres inférieurs pivotants sont articulés sur des rotules lubrifiées autorisant les rotations.

Copier la nature aurait été de fabriquer une sorte de tibia artificiel avec une chandelle équipée de deux « rotules » de part et d’autre.

chandelle

Le principe est très simple, dans un mouvement de rotation / pivotement, ce tibia artificiel fait se déplacer à l’horizontale avec un très léger parcours vertical la charge placée sur la « rotule » supérieure, alors que la « rotule » inférieure roule sur la chaussée de déplacement.

bequille

 

Ce qui m’a fait penser à ça ce sont ces pierres curieuses que l’on trouve par milliers dans le musée Petrie de Londres, sous la rubrique poids et mesures égyptiennes!

pierre pivotement

Ces pierres de toutes tailles ont en commun d’avoir un dessus en forme de segment de sphère et un dessous en tronc de cône, certaines portent sur la partie sphérique des traces d’usure incontestables.

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En fait ces plots auraient pu être les « rotules » du « tibia » artificiel.

Pour s’assurer que la rotation / pivotement ne se fasse que sur un axe, on aurait pu faire un « double tibia » que je vais désormais nommer « culbuto »:

culbuto

Prenons un exemple pour comprendre pourquoi ce déplacement est  efficace:

Compte tenu de la dimension de ces plots, on peut anticiper que la longueur du culbuto soit de l’ordre d’un poing en mesure égyptienne, soit aujourd’hui 11.2 cm alors que le diamètre du segment de sphère aurait pu être d’une main soit 9.35 cm.
Imaginons que le culbuto reçoive une béquille pour le maintenir en position stable de départ, qui lui donne une inclinaison sur la verticale de 27° environ soit une cotangente = SKD de 2, angle bien connu dans les pyramides.

culbuto 1
En lestant correctement cette béquille, celle-ci fera revenir en position de départ le culbuto quand il sera libéré de la charge en l’ayant déposée sur le culbuto suivant.
Nous obtenons ainsi un culbuto qui a une position stable.
Dans cette configuration l’angle que forme avec la verticale la droite qui passe par le point de contact supérieur et le point de contact inférieur ferait 4.3°, soit une tangente = 0,075 ce qui signifie que pour faire décoller le culbuto départ arrêté il faut lui appliquer au sommet une force qui fait 7.5 % du poids qui le charge.
Entre le point de départ et le point haut de la rotation la charge s’élève de 2 mm, alors qu’elle parcours à l’horizontale 4.33 cm de développé dû à la rotation de 27° des sphères inférieures et supérieure plus un déplacement de 1,65 cm dû au pivotement de 27° de la droite qui lie des deux centres des sphères, soit 6 cm de déplacement total, ainsi quand le culbuto aura continué sa rotation vers l’aval de 27° la charge sera revenue au même niveau horizontal, mais se sera déplacée horizontalement de 12 cm soit quasi la longueur du culbuto.

Dans ce déplacement il a fallu dépenser de l’énergie pour élever la charge par exemple de 1 t de 2 mm, soit environ 20 KJ, pour obtenir un déplacement de 0.12 m, ce qui serait l’équivalent d’une force moyenne résistante au déplacement de 20 / 0.12 = 167 KN soit 1.7 % du poids de la charge.

Or la même charge glissant sur une piste aurait présenté une résistance de l’ordre de 20% de son poids

Donc le déplacement dans l’air sur culbuto, sans récupération d’énergie est déjà 12  fois plus efficace qu’un glissement traîneau sur piste.

L’exemple ci-dessus est là juste pour la compréhension de la cinématique de base, car dans la réalité on a intérêt à récupérer l’énergie cinétique acquise par le bloc lors de sa chute.

Pour ce faire il y a deux types de solutions:

  • Le rouleau à plots: les plots se distribuant sur une circonférence prennent successivement la charge dans la rotation du roulau.
  • Une suite de culbutos répartis sur la piste: le culbuto suivant recueillant la charge apportée par le culbuto précédent pour continuer le mouvement.

1 – Rouleau à plots

Pour la mise en œuvre de ce principe dans le transport des pierres de la pyramide, j’ai imaginé que les constructeurs auraient pu utiliser un rouleau à 9 plots sur la circonférence qui donne d’excellentes performances.

Le problème de construction du rouleau est d’obtenir une géométrie précise, une de façon de l’obtenir est de construire le cylindre à partir de segments de 1 / 9 rectilignes en forme triangulaire, pour cet exemple, qu’il est facile d’usiner avec précision, puis d’y creuser les logements des plots.

segment rouleau

Les plots  peuvent être collés dans leurs logements par de la résine, le logement des plots ne travaille qu’en compression, cette façon de procéder permet d’ajuster facilement les plots de façon très précise.

Ensuite comme pour la fabrication d’un tonneau on assemble les 9 segments et on les fait tenir ensemble par un cerclage de cuivre.

rouleau9plots

Ce procédé permet pour les fortes charges d’utiliser le bois en compression axiale plus résistante que la compression radiale.

On peut facilement fabriquer ainsi en série avec une bonne reproductibilité autant de rouleaux que nécessaire.

Le rouleau n’a pas besoin d’être très gros, un diamètre de 11.2 cm ( 6 doigts ou un poing) est suffisant, quand à sa longueur elle peut être de l’ordre de 20 à 30 cm. En pierre pour les plots et bois pour le corps du rouleau, dans ces dimensions son poids est de l’ordre de 1.5 à 3 KG

Un rouleau ainsi constitué présente par rapport à un rouleau parfaitement circulaire, le double avantage d’être facile à réaliser dans toutes les dimensions, pour toutes les charges, et d’être moins sensible à la qualité de surface du chemin de progression car il y a du pivotement en plus du roulement et de tenir sans bouger dans les pentes jusqu’à 8 %, ce que le rouleau circulaire ne peut pas faire.

La forme sphérique du contact permet de faire circuler le rouleau dans une rainure en forme de U ou de V, ce qui fait qu’il est guidé et ne peut pas se mettre en travers comme un rouleau circulaire.

plotrainuredc3a9tail

Le contact du plot avec la rainure étant à l’origine de nature ponctuelle, la pression générée est très forte même pour des charges faibles.

Il est donc impératif que la matière de la rainure soit moins dure que celle du plot, pour que ce soit la forme de la rainure qui soit modifiée par la pression et non pas le plot.

Avec un plot en diorite ou granite, il aurait fallu une rainure en calcaire fin ou encore mieux en cuivre.

Le cuivre étant ductile, sous l’effet de la pression du plot se serait écrasé donnant une piste de roulement en forme cylindrique, avec une surface de contact augmentée jusqu’à ce que la pression de contact devienne inférieure à la résistance élastique à la compression  du cuivre écroui.

Ainsi en poussant à l’extrême, la piste de circulation peut n’être faite que de deux rainures, en fait deux rails évidés en cuivre, car c’est le seul lieu de contact entre les rouleaux et le sol.

Cerise sur le gâteau, le contact du plot sur la piste étant de nature ponctuelle, le rouleau à plots pouvait suivre une piste sinueuse qui fasse des virages, pas trop serrés cependant, ce qui serait impossible avec un rouleau cylindrique.

Cette propriété était très intéressante car des pistes assez longues, 400 m pour le parcours carrières pyramide, 700 m pour le parcours plaine du Nil pyramide, posaient un problème de différence de coefficient de dilatation entre le rail en cuivre et son support en calcaire, en faisant un parcours légèrement sinueux en S, cette différence pouvait être absorbée par une légère variation du rayon des virages et supprimait par la même occasion le besoin de joints de dilatation.

Arbitrairement pour la suite de l’étude, je vais prendre des rouleaux de 10 cm de diamètre et 20 cm de longueur, portant 2 anneaux de 9 plots, chaque plot ayant un rayon de sphère de 3 cm.

Rouleau plotPiste

Cependant  si l’on voulait tirer partie de la très faible résistance à l’avancement pour laisser se déplacer la charge sur rouleaux sur une piste en pente de l’ordre du % en pleine autonomie, c’est à dire économiser la main d’œuvre qui l’aurait accompagné, il fallait résoudre le problème posé par le déplacement des rouleaux avec la charge.

Le patin autonome va apporter la solution.

2 – Culbuto

Au lieu de distribuer les plots sur la périphérie d’un cylindre, ceux-ci auraient été directement distribués sur la piste de progression de la charge.

culbuto 2

On peut remarquer dans cet exemple que le culbuto comporte deux plots supérieurs et deux plots inférieurs en granite ou diorite, enchâssés dans un corps en bois dur. En partie arrière un contre poids enchâssé dans le corps en bois permet au culbuto de revenir en position de départ une fois libéré de la charge, une butée donne une position de départ précise.

La charge repose sur le culbuto par l’intermédiaire d’une mini piste de roulement en cuivre dont les nervures en forme de V servent de guidage pour les plots, une mini piste suivant le même principe reçoit les plots inférieurs.

La longueur de ces mini piste est légèrement supérieure au développé de roulement du plot.

Prenons un cas concret pour développer le propos:

Le diamètre de la sphère enveloppe du plot serait d’une main (5 doigts) soit 9.35 mm et la hauteur du culbuto qui ferait un poing (6 doigts) soit 11.2cm de hauteur hors tout, la conséquence en serait que l’angle que ferait avec la verticale la droite qui rejoint le point de contact haut au point de contact bas fait environ 4.3 ° alors que le culbuto serait lui incliné de 27 °.

Ainsi la force de « décollement » pour faire pivoter le culbuto ferait 7.5% du poids de la charge qu’il porte.

Le culbuto ferait un pivotement total de 54°, le développé des roulements partie basse et partie haute ajouté au pivotement du culbuto donnerait un déplacement de la charge de 12 cm par culbuto ce qui est la distance à laquelle on devrait trouver le culbuto suivant en attente de prendre le relève de la charge.

Double culbuto

Ainsi à la fin de son premier déplacement, la charge retombe sur le culbuto suivant et la cinématique du mouvement est exactement la même qu’avec le rouleau donc la résistance à l’avancement est identique pour la même configuration dimensionnelle.

Evidemment pour supporter le plateau porte charge il faut au moins en permanence avoir 3 culbutos en charge.

Le plateau est alternativement supporté par 2 culbutos à droite et un culbuto à gauche et vice versa au prochain basculement. Cela ressemble à une marche en passant d’un pied sur l’autre.

Pour une meilleure compréhension le plateau porte charge a été retiré de l’animation.

Cukbuto 2

Après le passage du plateau, le culbuto libéré bascule seul sous l’effet du contre poids vers sa position d’attente, pendant que la charge continue sa progression vers l’avant. Tant qu’il se trouvent des culbutos sur la piste, la charge peut progresser en offrant une très faible résistance à l’avancement.

Lorsque les paires de culbutos se croisent, le plateau peut rester ainsi en position stable.

Grâce à la forme sphérique du contact entre le plot et sa piste qui elle est en forme de V, il est possible de faire tourner le plateau porte charge, le plot se mettant alors légèrement en travers de la rainure, le rayon du cercle doit être au minimum de 30 fois la largeur du culbuto, c’est à dire environ 3 à 4 m.

Ceci peut être réalisé en orientant progressivement le support des culbutos sur la piste.

La résistance à la charge du plot est de l’ordre de 500 KG, ce qui fait que le plateau toujours porté au moins par 3 culbutos donc 6 plots peut être chargé à 3 t. Sur 6 culbutos en présence sur la piste sous le plateau porte charge seuls 3 sont en prise du fait du passage alternatif droite / gauche.

Dans l’exemple illustré, la longueur minimale du plateau aurait été de 0.72 m, la largeur du culbuto faisant 0.1 m , Il en fallait deux largeurs en prise en permanence soit une surface au sol de 0.15 M² pour 3 t avec 6 plots en charge soit une densité de charge de 20 t au M² de plateau

Pour des charges lourdes, on aurait pu à la fois augmenter le nombre de plots par culbuto, ou mettre plus de culbutos en parallèle dans la même rangée et le nombre de rangées de culbutos en prise en augmentant la longueur du plateau porte charge.

Par exemple pour un mégalithe de 65 t, il aurait fallu 3.25 M² de plateau ce qui était possible avec sa plus petite face qui mesure 1.5 x 2.8 m.

Pour 130 plots en charge, on aurait pu avoir 9 rangées de culbutos en charge, soit 7 culbutos en parallèle par rangée et une largeur minimale de la piste de 1.4 m.

Quand on a autant de plots supportant la charge, une chose très importante était la répartition équitable de la charge sur les plots pour éviter la casse, ce qui nécessitait une grande précision dimensionnelle des culbutos. Mais point facilitant une répartition homogène de la charge entre plots, le fait que le corps du culbuto soit en bois donne une certaine capacité de déformation élastique et d’autre part que la base des culbutos, pouvait reposer sur une planchette de bois d’une surface et d’une épaisseur telles que sous l’effet de la charge celle-ci s’écrase plus ou moins en restant dans sa limite de déformation élastique, ce qui absorbait les légers écarts dimensionnels laissés par la fabrication des culbutos.

De même en cas de changement de pente de la piste, il aurait fallu un raccordement très progressif pour que l’élasticité de la base des culbutos puisse absorber l’inclinaison progressive de la charge.

Ce changement de pente en cote s’effectuant en rapprochant le culbuto suivant pour que le plateau puisse « monter » sur celui-ci alors que sa base serait plus haute, et inversement en descente.

Autre point pratique, ces charges très lourdes avaient un trajet de l’ordre de 700 m à accomplir pour passer du sas de débarquement à la base de la pyramide, mais étant très peu nombreuses, leur progression (à l’inverse des blocs de remplissage) pouvait être très lente, laissant ainsi disponible la solution d’utiliser une piste de progression assez courte et modulaire, que des opérateurs auraient pu dérouler devant la charge en replaçant les modules dégagés à l’arrière.

Par contre pour les trajets sur l’assise ou dans la galerie d’accès au monte charge ou dans le trajet des blocs de remplissage depuis les carrières, compte tenu du trafic de l’ordre de 500 blocs par jour, il aurait fallu des pistes complètement remplies de culbutos à demeure.

Avec le dimensionnement de l’illustration, la densité de culbutos sur la piste étant de 6 pour 0.72 m, soit 8 au mètre linéaire, il y avait de l’ordre de 1 km de pistes à remplir, soit 8 000 culbutos et 32 000 plots!

Pas étonnant que l’on en trouve encore en si grand nombre dans les musées.

Sur les trajets très empruntés comme ceux des carrières à la pyramide, de la galerie d’accès et de la distribution des blocs sur l’assise, il était avantageux de placer les pistes en légère pente pour que les charges circulent sans intervention humaine un peu comme les wagonnet de mines aujourd’hui.

Il aurait alors suffit d’élever les blocs au départ du mouvement, puis de les faire s’accélerer sur une piste de lancement, pour garder leur vitesse acquise sur une piste dont la légère pente compense la résistance à l’avancement des culbutos, de l’ordre du %, pour être ensuite ralentis par une contre pente à l’arrivée, puis stoppés.

Sauf pour la fin du trajet des blocs sur l’assise qui doit être brusque, stoppé par une butée, afin que le bloc bascule sous l’effet de son énergie cinétique en tombant place tout seul.

A l’inverse dans la rampe montante à 8% entre la plaine du Nil et la pyramide, la piste à culbuto présentait l’avantage considérable d’avoir un comportement en ‘peau de phoque », c’est à dire une très faible résistance à l’avancement dans la cote, par contre dans le sens inverse, la piste présente un frottement important entre les plots en granite et leur support en cuivre avec un coefficient probablement de l’ordre de 0.3 / 0.4 c’est à dire qu’il aurait fallu une pente de 30 à 40% pour que la charge recule en glissant.

Cet avantage permettait en toute sécurité une traction non continue par saccades.

Ainsi les blocs, même les mégalithes en dehors de la rampe d’accès de la plaine du Nil vers la pyramide, pouvaient se déplacer avec un minimum de manutentions humaines.

En conclusion, l’option culbuto était performante et assez facile à mettre en oeuvre au prix cependant comme toujours dans les grandes pyramides d’une grande précision d’exécution.

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