Hisser les pierres le long d’une face de la pyramide

Dans la pyramide de Khéops les ascenseurs hydrauliques à flotteurs se sont montrés très performants pour hisser la plus grande partie des blocs constituant les pyramides, cependant à partir du niveau 85 m ils ont été arrêtés car ils ne pouvaient aller plus haut.

J’ai cru un moment que des flotteurs deuxième génération (non oscillants) auraient pu prendre la relève, mais les 3 étages de flotteurs oscillants ont absolument besoin que leurs cages accèdent à l’assise en cours de montage pour fonctionner.

Ainsi au niveau 85 les élévateurs oscillants ont été mis hors service, les flotteurs démontés et évacués, les puits et cages comblés, du niveau 85 au sommet il restait encore l’équivalent de la pyramide de Mykérinos à monter.

Ce même problème s’était posé dans les pyramides précédentes dans lesquelles les 3 étages de flotteurs élévateurs ne montaient pas jusqu’au sommet.

Sans flotteurs élévateurs verticaux, la seule possibilité restante pour faire monter les pierres sur l’assise était de les hisser en s’appuyant sur une ou plusieurs faces de la pyramide déjà terminées et lisses.

On peut ici analyser les forces qui s’exercent sur le bloc posé sur une face dont l’angle avec la verticale est autour de 52° dont le sinus fait 0.79 et le cosinus 0.62. Soit un bloc de 1 tonne posé sur la face sa projection perpendiculaire à la face est donc de 620 KG et parallèle à la face de 790 Kg. Pour commencer à le hisser il faudrait lui appliquer une force de 790 Kg parallèlement à la face faisant 52° avec la verticale, mais cette force aura une composante verticale dirigée vers le haut de 790 x .79 = 624 Kg qui se retranche au poids du bloc dont désormais le poids apparent est de 1000 – 624 = 376 Kg et dont la composante perpendiculaire à la face est de 376 x .62 = 233 Kg, en gros le quart de son poids, qui engendre une force de frottement variable suivant le système utilisé pour le déplacer.

Il ne serait pas raisonnable d’équiper la face d’une pistes de glissement, avec une pente pareille et une telle hauteur cette piste aurait du mal à tenir en place, donc la charge devrait être posées sur un chariot équipé de rouleaux en bois suivant le principe bien connu du patin autonome, roulant directement sur la surface lisse de la face. On peut anticiper que le coefficient de frottement de ces rouleaux serait inférieur à 0.05, donc la force de résistance à l’avancement serait de 232 x 0,05 = 11 Kg due au frottement plus 790 Kg due au poids, arrondie à 800 KG.

On commence à comprendre ici l’intérêt d’utiliser cet angle autour de 52° pour les grandes pyramides à faces lisses, le poids à tracter est de 80% du poids du bloc, donc un excellent rendement énergétique.

Pour la pyramide de Mykérinos, il est intéressant de constater que le parement n’est pas lisse mais en « ronde bosse » en en granite, signe qu’ils sont revenus à un frottement bois sur parement.

Pour hisser les blocs avec 800 Kg par tonne il fallait un moyen sur l’assise.

Le moyen le plus simple et le plus évident aurait été de disposer sur la face opposée d’opérateurs accrochés à la corde hissant le bloc et descendant « en rappel » sur leurs jambes.

Leur équation d’équilibre est la suivante, 100 Kg d’opérateur sur la corde engendre 79 Kg le long de la corde et 62 Kg pesant sur la face, ce poids apparent autorisant une force musculaire de l’opérateur fonction du coefficient frottement de son pied nu sur la face. On estime qu’un sol est glissant quand son coefficient de frottement est inférieur ou égal à 0.3, il se pourrait que le revêtement lisse mais rêche du parement donne un coefficient de l’ordre de 0.4, qui autoriserait un opérateur à ajouter à la force engendrée par son poids une force musculaire d’une vingtaine de KG, soit au final une traction sur la corde égale à son poids.

Au final pour une tonne à élever sur une face, il faudrait 800 Kg d’opérateurs soit environ 10 descendant sur la face opposée.

Cependant on peut estimer que pour travailler efficacement et en sécurité un opérateur ait besoin de disposer de 1 m de corde, donc par ce moyen, une tonne de charge demanderait sur la face opposée 10 m de corde chargée par des opérateurs

par exemple pour soulever sur l’assise à 85 m un bloc de 3 t, 30 opérateurs pesant 80 Kg en moyenne pouvaient disposer de 108 m de face pour se répartir sur la corde d’abord en descendant en rappel jusqu’à ce qu’un dernier opérateur déclenche l’ascension du bloc. Quand le premier opérateur se retrouve au sol, il doit être remplacé depuis l’assise pour faire le poids jusqu’à ce que le bloc soit hissé sur l’assise, après quoi les opérateurs avaient à remonter sur l’assise, soit en se hissant sur la corde, soit en utilisant des échelles de corde. La monté aurait pris seulement quelques dizaines de secondes.

Pour que la solution fonctionne correctement il fallait deux rappels de corde installés sur l’arête de l’assise coté charge et coté opposé, ce qui aurait été assez simple comme infrastructure à installer, ils auraient pu en mettre plusieurs en parallèle sur l’assise pour donner le débit de pierre voulu.

Par exemple pour conserver sur l’assise à la hauteur de 85 m le débit moyen de1 200 t/jour, le bloc moyen demandant 1.2 t de traction aurait pris de l’ordre de 3 minutes à une vingtaine d’opérateurs pour être hissé sur l’assise. Un opérateur pouvait faire environ 30 ascensions par jour donc une ligne de 20 opérateurs pouvait hisser 30 x 1.5 = 45 t par jour, pour aller au débit de 1 200 t il en fallait 27 en parallèle sur une face qui faisait encore à 85 m de hauteur avec une assise de 130 m de coté, soit 5 m par ligne, ce qui était faisable.

Ainsi ce procédé aurait été capable de monter 1 200 t/jour sur l’assise à 85 m en mobilisant théoriquement 540 opérateurs.

Cette méthode pour monter le bloc au niveau de l’assise aurait eu l’avantage de n’utiliser qu’un outillage minimum, mais travailler toute la journée sur une face pentue était dangereux toute chute étant mortelle si la « cordée » dévissait c’était de 20 à 40 opérateurs qui perdaient la vie.

Un autre outillage aurait pu être utilisé: un treuil différentiel à base de cordes posé sur l’assise à remplir

Avant d’aller plus en avant une pré-étude montre qu’on se heurte rapidement à la limite de résistance à la rupture des cordages.

On ne sait que bien peu des cordages utilisés à l’époque de la construction, je vais donc utiliser les données connues des cordes en chanvre naturel que l’on trouve aujourd’hui dans le commerce.

De l’analyse de certains catalogues de fournisseurs j’ai retiré une formule simple qui donne à ± 5 % près la charge de rupture d’une corde en chanvre en fonction de son diamètre.

Rupture en KG = 6,7 x Carré du diamètre en mm,

Par exemple une corde de 10 mm de diamètre se rompra soumise 670 KG de tension.

Pour soulever un bloc de 6 t il faut une traction de 4,8 t sur la corde, en prenant un coefficient de sécurité de 2 cela conduirait à une corde de 38 mm de diamètre.

Par contre un bloc de 20 t conduirait à un diamètre de corde de 150 mm ce qui de mon point de vue aurait été difficilement praticable.

Je pense donc que ce treuil différentiel aurait dû être réservé aux blocs de remplisage et du parement qui devaient tous être inférieurs à un poids de 8 t. Les gros blocs « techniques » allant jusqu’à 70 t relevant des élévateurs à flotteurs.

Pour faire un exemple concrêt je vais décrire ci-dessous, un treuil qui aurait pu remplir l’assise 201 dont le bloc le plus lourd pèse 4.2 t et le bloc moyen autour de 1.6 t.

La cinématique de ce treuil est la suivante :

La roue motrice, ici de 3 m de diamètre est enroulées par 4 tours morts d’une corde sans fin à laquelle s’accrochent successivement des opérateurs les uns à la suite des autres engendrant une force motrice continue égale à la somme de leurs poids.

La roue fait tourner un axe de 0,5 m de diamètre qui roule sur une piste à 3 m de hauteur, les opérateurs font donc une course verticale de 2,5 m, la roue a une vitesse tangentielle maintenue constante de 0,8 m/s, un opérateur lesté à 100 Kg développera donc une puissance de 800 W pendant son court trajet de 2,5 s sur la corde.

Par mesure de symétrie il y aura deux roues motrices, ce qui donne un maximum de 4 opérateurs en action et une puissance de 3,2 KW pour le treuil, et donc un effectif de 40 opérateurs se relayant en permanence sur les deux roues.

Pour que la rotation de l’axe se transforme en translation sans glissement sur la piste, celui-ci sera entouré de 3 tours morts de corde tractrice, qui sera tendue et accrochée à la piste.

Ainsi un tour de roue motrice se transforme en ≈ 1,6 m de translation de l’axe. Alors que la roue a développé 9,42 m, donnant une amplification de force par 6.

Le problème est de transférer ce mouvement à la charge sans frottement, la solution est d’enrouler la corde qui tracte la charge sur un guindeau entraîné par l’axe.

Il y a alors deux options :

a) La rotation enroule la corde, son parcours s‘ajoute à celui de l’axe, diminuant l‘amplification, exemple avec un diamètre de guindeau de 0,25 m (le deuxième à partir de la gauche sur l’illustration), pour un tour d’axe la corde tirant la charge, s’ajoutant au déplacement de l’axe de 1,6 m le guindeau enroule 0,8 m de corde, soit un déplacement de 2,4 m et une amplification de 9,42 / 2,4 = 4.

La force maximum exercée sera donc de 4 x 4 x ,1 = 1,6 t.

b) La rotation déroule la corde, son mouvement se retranche de celui de l’axe, avec les valeurs ci-dessus pour un tour de roue le déplacement de la charge sera de 1,6 – 0,8 = 0,8 m, l’amplification devient 9,42 / 0,8 = 12, la force maximale développée sera de 12 x 4 x 0,1 = 4,8 t.

Ainsi en changeant l’option d’enroulement de la corde tirant la charge sur la guindeau, la force maximale passe de 1,6 à 4,8 t permettant avec le même appareil de monter tous les blocs de l’assise 201.

Il arrive cependant un moment ou la roue arrive en bout de course et le mouvement s’arrête pour s’inverser afin de revenir au point de départ.

La charge ne monte plus, pour qu’elle ne risque pas de redescendre il faut qu’une deuxième corde attachée à la charge enroulée à contre sens sur l’axe soit à ce moment là tendue pour bloquer l’axe en position.

Les opérateurs passent de l’autre coté de la roue pour la faire tourner en rotation inverse et ce sera la deuxième corde qui tirera la charge, la première étant alors seulement raccourcie.

Il n’y a pas de temps perdu à changer quoi que ce soit dans le dispositif, il y aura seulement un « stop & go » de la charge, donc un ralentissement infime de la progression du bloc vers l’assise.

Au retour, le déplacement de l’axe ferait redescendre le bloc, il faut donc que le guindeau enroule d’autant plus de corde pour le hisser.

Pour un déplacement final de 0,8 m en hauteur il faut enrouler 1,6 + 0,8 = 2,4 m soit un diamètre de guindeau de 0,75 m (à droite du guindeau de 0.25 m). Pour un déplacement de 2,4 m il aurait fallu enrouler 2,4 + 1,6 = 4 m soit un diamètre de guindeau de 1,25 m (à gauche du guindeau de 0.25 m).

Si l’on veut avec le même ensemble roues-axe, lever efficacement tous les blocs de l’assise, il faut alors au centre de l’axe 3 diamètres de guindeau 0,25, 0,75, 1,25 m chacun équipé d’une corde, dont seulement une à la fois ne tire la charge, les deux autres étant seulement raccourcies au fur et à mesure de sa montée.

L’assise 201 pèse environ 366 t, à 137 m de hauteur son énergie potentielle est de 136 KWH, ce treuil de 3 KW de puissance pourrait y élever tous les blocs en 5 jours de travail.

A l’arrivée sur l’assise les blocs peuvent être encore soulevés à environ 1,5 m du sol, dans une position préparant leur déplacement sur l’assise avec une méthode très simple et efficace, objet du chapitre suivant.

Une fois sur l’assise comment faire circuler ce bloc ?L’aspect de l’assise 201 est celui d’une surface certes horizontale en moyenne mais chaotique, difficilement praticable pour y faire circuler un bloc qu’il soit sur rouleaux ou non.

On aurait pu penser à installer des chemins de progression en bois, mais comment décharger le bloc de 4 t son chariot qui se trouve au bord de l’assise 201 pour le poser à sa place définitive?

Il restait comme méthode facilement praticable celle de faire se déplacer le bloc dans les airs suspendu à une corde!

Dans le chapitre consacré à la pyramide de Mykérinos je fais une description détaillée de méthodes qui auraient été praticables et efficaces pour d’une part élever les blocs sur l’assise et d’autre part les faire se déplacer sur l’assise avec précision et sans efforts.

 

 

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