Du plot au rouleau

Sur le chantier de la pyramide de Chéops, les pierres de remplissage dans leurs périples cumulés faisaient 300 KM par jour, le tour de la terre tous les 6 mois et en 5 ans le trajet terre lune!

Il fallait donc une solution de mobilité à la hauteur de cet enjeu car les traîneaux glissant sur piste lubrifiée ne faisaient pas l’affaire.

Pour les bipèdes que nous sommes, la solution trouvée par la nature pour nous faire nous déplacer sur terre est de faire pivoter le corps sur une jambe en lui faisant décrire un arc de cercle, tout en le déplaçant latéralement pour que le centre de gravité reste dans le polygone de sustentation, puis la deuxième jambe prend le relais et ainsi de suite. En fait notre corps SE DÉPLACE DANS L’AIR en prenant appui sur les articulations nos pieds, cependant à chaque pas, le pivotement sur une jambe élève notre centre de gravité, le travail pour lui donner ce supplément d’énergie potentielle est donnée par nos muscles, depuis ce sommet, le corps ensuite retombe dans une trajectoire circulaire en transformant l’énergie acquise en énergie cinétique, la composante horizontale de cette énergie est récupérée pour le pas suivant et maintient la vitesse de déplacement acquise, la composante verticale est perdue et se transforme en chaleur. Une petite foulée est économe en calories, une grande foulée consomme.

Si une charge est portable à dos d’homme elle voyage aussi dans les airs, mais sa masse augmente d’autant la consommation de calories.

Quand la charge est trop lourde pour être portée, elle reste au sol et le moyen le plus immédiat pour la déplacer reste de la faire glisser.

Il y a un glissement très performant qui a été utilisé très tôt c’est celui d’un embarcation dans l’eau, solution toujours d’actualité maritime ou fluviale, généralement réservée aux longs trajets et aux charges très lourdes, mais sur un plateau désertique, il vaut mieux oublier cela.

L’autre solution « évidente » est de faire glisser la charge, le plus souvent portée par un traîneau sur une piste lubrifiée pour diminuer autant que possible le frottement. Cette solution apparemment simple est trop consommatrice en effectif car le coefficient de frottement du traîneau sur la piste est de l’ordre de 0.2 ce qui équivaut à faire monter le traîneau et sa charge sur une pente à 20%.

Plus exigeant en technologie, le déplacement sur roue ou sur rouleaux circulaires, divise par 100 la consommation en énergie par rapport au traîneau.

Pour les pierres très lourdes des pyramides, la solution de la roue était à proscrire car posant des problèmes de résistance des matériaux impossible à gérer avec la technologie de l’époque, par contre le déplacement sur rouleaux circulaires leur était parfaitement accessible, mais présentait un inconvénient fâcheux, il fallait une piste de roulement parfaitement propre dans un environnement envahi par le sable et les gravats des carrières, sinon le rouleau s’enlise, tous ceux qui ont fait du 4 x 4 dans le désert ou du vélo sur une plage connaissent ça !

Les anciens égyptiens de la IV dynastie, observateurs attentifs de la nature, ont choisi de copier la solution que mère nature a mis des millions d’années à perfectionner.

FAIRE AVANCER LES PIERRES DANS LES AIRS SI LOURDES SOIENT ELLES.

La charge n’ayant ni jambes, ni pieds, qu’on lui donne des béquilles!

Le principe est très simple, on fait se soulever légèrement la pierre prenant appui sur ses béquilles, puis la rotation des béquilles continuant, la pierre atteint un point haut tout en faisant une avancée horizontale et enfin retombe ou sur une cale ou sur la béquille suivante.

On trouve dans le musée Petrie de Londres de curieuses pierres classées dans la catégorie des poids:

pierre pivotement

 

Il y en a des milliers, ces pierres de toutes tailles ont en commun d’avoir un dessus sphérique et un dessous conique, certaines portent sur la partie sphérique des traces d’usure incontestables.

En fait ces plots auraient pu être les têtes de « béquilles » enchâssées dans une chandelle pour faire avancer les pierres en pivotement.

chandelle

Ce principe de coussinet de pivotement roulement est utilisé par tous les mammifères dans la nature, y compris les humains, nous en avons un double, talon-orteils à chaque pied pour la partie basse, col du fémur / cotyle pour la partie haute.

Ci-dessous la cinématique de base:

bequille

 

La béquille pivote sur l’arête du plot inférieur, qui roule sur la piste de cheminement, elle entraîne le bloc par le plot/pivot situé en partie supérieure qui à la fois roule sous le bloc et le déplace à la fois verticalement et horizontalement.

Dans l’illustration ci-dessus l’angle de pivotement passe de -15° à +15°

Prenons un exemple pour comprendre pourquoi le déplacement sur béquille est  efficace:

Soit un bloc de masse 1 tonne exerçant une force verticale de 9.82 KN et des béquilles de 1 m de hauteur inclinées à 15°.

(En un premier temps en négligeant le roulement pour rester simple)

  • Le bloc repose sur béquilles et retombe sur une cale en fin de mouvement
  • On exerce une force horizontale « F » qui crée un couple moteur pour faire basculer les béquilles. Au départ du mouvement le couple moteur est F × cosinus (15°).
  • Le bloc crée un couple résistant qui est  9.82 × sinus(15°)
  • Quand la force « F » dépasse 9.82 × sinus (15°) / cosinus(15°) ou encore 9.82 × tangente (15°) soit 2.6 KN, les béquilles se redressent soulevant le bloc jusqu’en un point haut, son élévation est de  (1 / cosinus (15°)) – 1 = 3.53 cm, le bloc a parcouru à l’horizontale une distance de  tangente (15°) = 0.27 m.
  • Sous son propre poids, le bloc retombe et parcours encore 0.27 m, il aura fait un pas en avant de 0.54 m.
  • L’élévation du bloc aura consommé l’énergie potentielle qu’il a acquise entre le point haut et le point de départ soit 0.0353 × 9.82 = 0.347 KJ
  • En retombant de son point haut, le bloc arrive sur le support suivant avec une vitesse acquise durant sa chute.
  • Un composante de cette vitesse est horizontale, l’énergie cinétique acquise par le bloc va se dissiper sur la cale et sera perdue.
  • La composante verticale de la vitesse va se dissiper en chaleur, cette énergie sera perdue.
  • Au final on aura dépensé 0.347 KJ pour avancer de 0.54 m, tout se passe comme si une force de frottement moyenne de 0.347 / 0.54 = 0.64 KN avait résisté à l’avancement, le même déplacement sur un traîneau et piste lubrifiée aurait demandé 2 KN.

Donc le déplacement dans l’air sur béquille, sans récupération d’énergie est déjà 3 fois plus efficace qu’un glissement traîneau sur piste.

Si maintenant on prend en compte le roulement de la pierre pivot sur le sol, dès le départ du mouvement, la pierre roule autour du centre de la sphère qui devient le point de pivotement, celui-ci s’est donc déplacé et l’angle d’inclinaison s’en est réduit d’autant ainsi que le bras de levier du pivotement, au résultat l’effort de décollage s’est réduit, ainsi que la hauteur d’élévation de la charge en même temps que la perte d’énergie lors de la retombée de celle-ci.

Le roulement sur la pierre pivot augmente l’efficacité de la béquille.

L’exemple ci-dessus est là juste pour la compréhension de la cinématique de base, car dans la réalité on a intérêt à récupérer l’énergie cinétique acquise par le bloc lors de sa chute.

Pour ce faire il suffit de distribuer les plots de pivotement sur un cylindre, comme dans cet exemple ci-dessous avec 5  plots sur la circonférence.

Cette vidéo explique la cinématique du rouleau à plot sur une maquette échelle 1 mettant en oeuvre une reproduction d’une pierre de roulement / pivotement trouvées dans le musée Petrie de Londres:

Pour la mise en oeuvre de ce principe dans le transport des pierres de la pyramide, j’ai imaginé que les constructeurs auraient pu utiliser un rouleau à 9 plots sur la circonférence qui donne d’excellentes performances.

Rouleau2x9plots

Le problème de construction du rouleau est d’obtenir une géométrie précise, une de façon de l’obtenir est de construire le cylindre à partir de segments de 1 / 9 rectilignes en forme triangulaire, pour cet exemple, qu’il est facile d’usiner avec précision, puis d’y creuser les logements des plots.

segment3plots-9

 

Les plots  peuvent être collés dans leurs logements par de la résine, le logement des plots ne travaille qu’en compression, cette façon de procéder permet d’ajuster facilement les plots de façon très précise.

Ensuite comme pour la fabrication d’un tonneau on assemble les 9 segments et on les fait tenir ensemble par un cerclage de cuivre.

Ce procédé permet pour les fortes charges d’utiliser le bois en compression axiale plus résistante que la compression radiale.

On peut facilement fabriquer ainsi en série avec une bonne reproductibilité autant de rouleaux que nécessaire.

Le rouleau n’a pas besoin d’être très gros, un diamètre de 10 cm est suffisant, quand à sa longueur elle peut être de l’ordre de 20 à 30 cm. En pierre pour les plots et bois pour le corps du rouleau, dans ces dimensions son poids est de l’ordre de 1.5 à 3 KG

 

Un rouleau ainsi constitué présente par rapport à un rouleau parfaitement circulaire, le double avantage d’être facile à réaliser dans toutes les dimensions, pour toutes les charges, et d’être moins sensible à la qualité de surface du chemin de progression car il y a plus de pivotement que de roulement et de tenir sans bouger dans les pentes jusqu’à 8 %, ce que le rouleau circulaire ne peut pas faire.

La forme sphérique du contact permet de faire circuler le rouleau dans une rainure en forme de U ou de V, ce qui fait qu’il est guidé et ne peut pas se mettre en travers comme un rouleau circulaire.

plotrainuredc3a9tail

Le contact du plot avec la rainure étant à l’origine de nature ponctuelle, la pression générée est très forte même pour des charges faibles.

Il est donc impératif que la matière de la rainure soit moins dure que celle du plot, pour que ce soit la forme de la rainure qui soit modifiée par la pression et non pas le plot.

Avec un plot en diorite ou granite, il aurait fallu une rainure en calcaire fin ou encore mieux en cuivre.

Le cuivre étant ductile, sous l’effet de la pression du plot se serait écrasé donnant une piste de roulement en forme cylindrique, avec une surface de contact augmentée jusqu’à ce que la pression de contact devienne inférieure à la résistance élastique à la compression  du cuivre.

Ainsi en poussant à l’extrême, la piste de circulation peut n’être faite que de deux rainures, en fait deux rails évidés en cuivre, car c’est le seul lieu de contact entre les rouleaux et le sol.

Cerise sur le gateau, le contact du plot sur la piste étant de nature ponctuelle, le rouleau à plots pouvait suivre une piste sinueuse qui fasse des virages, pas trop serrés cependant, ce qui serait impossible avec un rouleau cylindrique.

Cette propriété était très intéressante car des pistes assez longues, 400 m pour le parcours carrières pyramide, 700 m pour le parcours plaine du Nil pyramide, posaient un problème de différence de coefficient de dilatation entre le rail en cuivre et son support en calcaire, en faisant un parcours légèrement sinueux en S, cette différence pouvait être absorbée par une légère variation du rayon des virages et supprimait par la même occasion le besoin de joints de dilatation.

Maquette preuve du concept du rouleau :

Il y a simplement un premier élan à donner au démarrage du premier sommet pour le faire décoller, ensuite le mouvement se maintient avec un effort minime.

 

Arbitrairement pour la suite de l’étude, je vais prendre des rouleaux de 10 cm de diamètre et 20 cm de longueur, portant 2 anneaux de 9 plots, chaque plot ayant un rayon de sphère de 3 cm.

Rouleau plotPiste

Cependant comme le montre le fonctionnement de la maquette preuve du concept, si l’on voulait tirer partie de la très faible résistance à l’avancement pour laisser se déplacer la charge sur rouleaux sur une piste en pente de l’ordre du % en pleine autonomie, c’est à dire économiser la main d’oeuvre qui l’aurait accompagné, il fallait résoudre le problème posé par le déplacement des rouleaux avec la charge que dévoile la maquette.

Le patin autonome va apporter la solution.