Du plot au rouleau

Sur le chantier de la pyramide de Chéops, les pierres de remplissage dans leurs périples cumulés faisaient 300 KM par jour, le tour de la terre tous les 6 mois et en 5 ans le trajet terre lune!

Il fallait donc une solution de mobilité à la hauteur de cet enjeu car les traîneaux glissant sur piste lubrifiée ne faisaient pas l’affaire.

Pour les bipèdes que nous sommes, la solution trouvée par la nature pour nous faire nous déplacer sur terre est de faire pivoter le corps sur une jambe en lui faisant décrire un arc de cercle, tout en le déplaçant latéralement pour que le centre de gravité reste dans le polygone de sustentation, puis la deuxième jambe prend le relais et ainsi de suite. En fait notre corps SE DÉPLACE DANS L’AIR en prenant appui sur les articulations nos pieds, cependant à chaque pas, le pivotement sur une jambe élève notre centre de gravité, le travail pour lui donner ce supplément d’énergie potentielle est donnée par nos muscles, depuis ce sommet, le corps ensuite retombe dans une trajectoire circulaire en transformant l’énergie acquise en énergie cinétique, la composante horizontale de cette énergie est récupérée pour le pas suivant et maintient la vitesse de déplacement acquise, la composante verticale est perdue et se transforme en chaleur. Une petite foulée est économe en calories, une grande foulée consomme.

Si une charge est portable à dos d’homme elle voyage aussi dans les airs, mais sa masse augmente d’autant la consommation de calories.

Quand la charge est trop lourde pour être portée, elle reste au sol et le moyen le plus immédiat pour la déplacer reste de la faire glisser.

Il y a un glissement très performant qui a été utilisé très tôt c’est celui d’un embarcation dans l’eau, solution toujours d’actualité maritime ou fluviale, généralement réservée aux longs trajets et aux charges très lourdes, mais sur un plateau désertique, il vaut mieux oublier cela.

L’autre solution « évidente » est de faire glisser la charge, le plus souvent portée par un traîneau sur une piste lubrifiée pour diminuer autant que possible le frottement. Cette solution apparemment simple est trop consommatrice en effectif.

Plus exigeant en technologie, le déplacement sur roue ou sur rouleaux circulaires, divise par 100 la consommation en énergie par rapport au traîneau.

Pour les pierres très lourdes des pyramides, la solution de la roue était à proscrire car posant des problèmes de résistance des matériaux impossible à gérer avec la technologie de l’époque, par contre le déplacement sur rouleaux circulaires leur était parfaitement accessible, mais présentait un inconvénient fâcheux, il fallait une piste de roulement parfaitement propre dans un environnement envahi par le sable et les gravats des carrières, sinon le rouleau s’enlise, tous ceux qui ont fait du 4 x 4 dans le désert ou du vélo sur une plage connaissent ça !

Les anciens égyptiens de la IV dynastie, observateurs attentifs de la nature, ont choisi de copier la solution que mère nature a mis des millions d’années à perfectionner.

FAIRE AVANCER LES PIERRES DANS LES AIRS SI LOURDES SOIENT ELLES.

La charge n’ayant ni jambes, ni pieds, qu’on lui donne des béquilles!

Le principe est très simple, on fait se soulever légèrement la pierre prenant appui sur ses béquilles, puis la rotation des béquilles continuant, la pierre atteint un point haut tout en faisant une avancée horizontale et enfin retombe ou sur une cale ou sur la béquille suivante.

On trouve dans le musée Petrie de Londres de curieuses pierres classées dans la catégorie des poids:

pierre pivotement

 

Il y en a des milliers, ces pierres de toutes tailles ont en commun d’avoir un dessus sphérique et un dessous conique, certaines portent sur la partie sphérique des traces d’usure incontestables.

En fait je pense que ces plots auraient pu être les têtes de « béquilles » enchâssées dans une chandelle pour faire avancer les pierres en pivotement.

chandelle

Ce principe de coussinet de pivotement roulement est utilisé par tous les mammifères dans la nature, y compris les humains, nous en avons un double, talon-orteils à chaque pied pour la partie basse, col du fémur / cotyle pour la partie haute.

Ci-dessous la cinématique de base:

bequille

 

La béquille pivote sur l’arête du plot inférieur, qui roule sur la piste de cheminement, elle entraîne le bloc par le plot/pivot situé en partie supérieure qui à la fois roule sous le bloc et le déplace à la fois verticalement et horizontalement.

Dans l’illustration ci-dessus l’angle de pivotement passe de -15° à +15°

Prenons un exemple pour comprendre pourquoi le déplacement sur béquille est  efficace:

Soit un bloc de masse 1 tonne exerçant une force verticale de 9.82 KN et des béquilles de 1 m de hauteur inclinées à 15°.

(En un premier temps en négligeant le roulement pour rester simple)

  • Le bloc repose sur béquilles et retombe sur une cale en fin de mouvement
  • On exerce une force horizontale « F » qui crée un couple moteur pour faire basculer les béquilles. Au départ du mouvement le couple moteur est F × cosinus (15°).
  • Le bloc crée un couple résistant qui est  9.82 × sinus(15°)
  • Quand la force « F » dépasse 9.82 × sinus (15°) / cosinus(15°) ou encore 9.82 × tangente (15°) soit 2.6 KN, les béquilles se redressent soulevant le bloc jusqu’en un point haut, son élévation est de  (1 / cosinus (15°)) – 1 = 3.53 cm, le bloc a parcouru à l’horizontale une distance de  tangente (15°) = 0.27 m.
  • Sous son propre poids, le bloc retombe et parcours encore 0.27 m, il aura fait un pas en avant de 0.54 m.
  • L’élévation du bloc aura consommé l’énergie potentielle qu’il a acquise entre le point haut et le point de départ soit 0.0353 × 9.82 = 0.347 KJ
  • En retombant de son point haut, le bloc arrive sur le support suivant avec une vitesse acquise durant sa chute.
  • Un composante de cette vitesse est horizontale, l’énergie cinétique acquise par le bloc va se dissiper sur la cale et sera perdue.
  • La composante verticale de la vitesse va se dissiper en chaleur, cette énergie sera perdue.
  • Au final on aura dépensé 0.347 KJ pour avancer de 0.54 m, tout se passe comme si une force de frottement moyenne de 0.347 / 0.54 = 0.64 KN avait résisté à l’avancement, le même déplacement sur un traîneau et piste lubrifiée aurait demandé 2 KN.

Donc le déplacement dans l’air sur béquille, sans récupération d’énergie est déjà 3 fois plus efficace qu’un glissement traîneau sur piste.

Si maintenant on prend compte le roulement de la pierre pivot sur le sol, dès le départ du mouvement, la pierre roule autour du centre de la sphère qui devient le point de pivotement, celui-ci s’est donc déplacé et l’angle d’inclinaison s’en est réduit d’autant ainsi que le bras de levier du pivotement, au résultat l’effort de décollage s’est réduit, ainsi que la hauteur d’élévation de la charge en même temps que la perte d’énergie lors de la retombée de celle-ci.

Le roulement sur la pierre pivot augmente l’efficacité de la béquille.

L’exemple ci-dessus est là juste pour la compréhension de la cinématique de base, car dans la réalité on a intérêt à récupérer l’énergie cinétique acquise par le bloc lors de sa chute.

Pour ce faire il suffit de distribuer les plots de pivotement sur un cylindre, comme dans cet exemple avec 9  plots sur la circonférence:

RouleauPartiel-9 plots

 

Le problème de construction est d’obtenir une géométrie précise, une de façon de l’obtenir est de construire le cylindre à partir de segments de 1 / 9 rectilignes en forme triangulaire, pour cet exemple, qu’il est facile d’usiner avec précision, puis d’y creuser les logements des plots.

segment 3 plots-9

Les plots  peuvent être collés dans leurs logements par de la résine, le logement des plots ne travaille qu’en compression, cette façon de procéder permet d’ajuster facilement les plots de façon très précise.

Ensuite comme pour la fabrication d’un tonneau on assemble les 9 segments et on les fait tenir ensemble par un cerclage de cuivre.

Rouleau-9-plots

Ce procédé permet pour les fortes charges d’utiliser le bois en compression axiale plus résistante que la compression radiale.

On peut facilement fabriquer ainsi en série avec une bonne reproductibilité autant de rouleaux que nécessaire.

Le rouleau n’a pas besoin d’être très gros, un diamètre de 10 cm est suffisant, quand à sa longueur elle peut être de l’ordre de 20 à 50 cm. En pierre pour les plots et bois pour le corps du rouleau, dans ces dimensions son poids est de l’ordre de 1.5 à 5 KG

7 plots

La cinématique de fonctionnement du rouleau est la même que celle de la « béquille », mais il y a toujours un plot qui se présente à la fin d’un pivotement pour prendre la relève. Ainsi la composante horizontale de l’énergie cinétique acquise par le bloc dans sa chute, au lieu d’être perdue, fait remonter le bloc sur le plot suivant, seule la composante verticale est perdue, il faudra la compenser par un apport d’énergie venant d’opérateurs.

Un rouleau ainsi constitué présente par rapport à un rouleau parfaitement circulaire, le double avantage d’être facile à réaliser dans toutes les dimensions, pour toutes les charges, et d’être moins sensible à la qualité de surface du chemin de progression car il y a plus de pivotement que de roulement et de tenir sans bouger dans les pentes jusqu’à 10 %, ce que le rouleau circulaire ne sait pas faire.

La forme sphérique du contact permet de faire circuler le rouleau dans une rainure en forme de U ou de V, ce qui fait qu’il est guidé et ne peut pas se mettre en travers comme un rouleau circulaire.

Ainsi en poussant à l’extrême, la piste de circulation peut m’être faite que de quelques rainures, car c’est le seul point de contact entre le rouleau et le sol.

Maquette preuve du concept avec sur une pente à 2% successivement un rouleau à 5 plots, puis 9 plots.

https://videopress.com/embed/eio7LD63?hd=0&autoPlay=0&permalink=0&loop=0 

Avec ce principe les  400 m parcourus par le bloc de 2.5 t entre les carrières et la pyramide ne consomment que 14 WH soit 40 fois moins que le traîneau glissant.

Cela peut paraître incroyable, mais la résistance à l’avancement d’un rouleau parfaitement circulaire ne serait que de deux fois inférieure sur une piste parfaitement propre!

Il y a simplement un premier élan à donner au démarrage du premier sommet pour le faire décoller, ensuite le mouvement se maintient avec un effort minime.

 

Idéalement, pour maximiser sa performance, il faudrait que:

  1. Les rouleaux soient petits pour peser peu.
  2. la résistance à l’avancement soit aussi faible que possible.
  3. La pression exercée sur les appuis par la surface de contact soit inférieure à la résistance élastique à la compression des matières en contact.
  4. Le pivotement qui s’accommode mieux d’un état de surface du sol et de la charge de qualité médiocre soit privilégié par rapport au roulement.
  5. Le rouleau reste stable en position, sur une pente de 8% correspondant à la pente de la chaussée reliant la pyramide à la plaine du Nil afin d’éviter le risque que la charge ne dévale cette pente par accident.

La condition 3 se réalise d’autant mieux que le diamètre de la sphère du plot est grand.

Cependant comme le contact d’une sphère sur un plan est ponctuel, la pression engendrée devient rapidement trop forte pour la résistance à la compression des matériaux en contact.

Il fallait augmenter les surfaces de contact en faisant porter le plot sur une rainure de guidage qui donne 3 points de contact au lieu de un et protéger la surface du plot en le faisant progresser sur un matériau moins dur.

Sur la rainure de guidage,  le résultat est que la pression de la sphère « imprime » sa trace de passage dans le sillon en le déformant faisant automatiquement tomber la pression.

Rodage

 

Cette rainure fut elle en calcaire, qu’il eut fallu que celui-ci soit fin et homogène comme celui de Turah, sinon gare aux « nids de poules »!

Sans pouvoir le prouver, je pense que les rainures étaient en cuivre rapporté dans une rainure en pierre, car ce matériau, « n’imprime » pas sur le granite ou la diorite, il est ductile et résiste de façon élastique aux pressions jusqu’à une limite de l’ordre de 300 N / mm². Son inconvénient est d’être lourd et cher, mais la baguette rapportée n’avait besoin d’être ni large, ni épaisse, pas plus de 1 cm x 2 cm, 0.2 KG au mètre par rainure, la partie sphérique du plot étant de l’ordre de 3 cm de diamètre.

 

Cette baguette devait être posée libre avec un jeu fonctionnel de l’ordre de 5 mm, dans une rainure creusée dans la piste de progression qui devait sans doute être faite de dalles de pierre pour les chaussées reliant le temple bas au temple haut et les carrières à la pyramide et de planches de bois pour les pistes déplaçables posées sur l’assise.

PlotRainureDétail

 

On acceptera que les charges les plus légères reposaient sur un traîneau sous le quel se tenaient 4 rouleaux, deux devant, deux derrière.

En posant les charges les plus lourdes sur 2 traîneaux , un devant, un derrière, la charge reposait sur 8 rouleaux.

Arbitrairement pour une raison pratique de standardisation de la production de rouleaux, je vais prendre des rouleaux de 10 cm de diamètre et 20 cm de longueur, portant 2 anneaux de 9 plots, chaque plot ayant un rayon de sphère de 3 cm.

Ainsi il ne peut y avoir moins de 8 plots en charge par traîneau, les blocs calcaire les plus lourds ayant 16 plots sous eux.

Comme le bloc de « construction » le plus lourd ne dépasse pas 10 tonnes, cela fait une charge maximum de 625 KG par plot ce qui me paraît très raisonnable on aurait pu accepter 1 tonne avec un rayon de sphère de 3 cm, donc pratiquement 8 t par traîneau.

Il fallait donc que les chaussées disposent de 4 rainures.

Rouleau plotPiste

En granite, Le bloc le plus lourd pesant 65 t repose aussi sur 2 traîneaux, un devant, un derrière, pour passer sur les « rails » en place, la charge de 65 t se répartit sur 16 plots, soit 4 t par plot, en doublant la taille des rouleaux on multiplie par 4 les surfaces de contact pour tenir 4 t par plot. Éventuellement ces derniers auraient pu être faits en cuivre moulé.

Les mégalithes passent donc sur les « rails » des pierres de construction, peut être en changeant les rainures de cuivre pour tenir compte du nouveau diamètre des plots.

Comme ces blocs avançaient très lentement et que les rainures rapportées étaient modulaires, il sauraient pu passer devant les rainures spéciales libérées derrière.

Que ce soit pour les rouleaux comme pour les chaussées et le rainures rapportées les constructeurs, comme toujours sur ce chantier ont fait preuve d’une excellente précision d’exécution.

Les choix que je propose ici sont pour l’exemple, impossible aujourd’hui de savoir quels ont été les arbitrages des constructeurs

Du rouleau à plots au patin autonome