Flotteur submersible deuxième génération

Le flotteur submersible inventé par les constructeurs de la pyramide de Saqqarah, a démontré son efficacité, mais présente certaines limitations.

En particulier, la nécessité de disposer un lest sous le flotteur pour assurer la stabilité de l’équipage mobile. Cette disposition héritée de l’architecture navale fonctionne parfaitement mais alourdit considérablement l’équipage mobile, qui pèse autour de trente fois la charge élevée, ce qui rend le déplacement du flotteur très lent avec un cycle d’environ 2 mn entre deux montées.

Cette limitation a été dépassée dans la première pyramide en plaçant 11 flotteurs en parallèle dans 11 puits toujours visibles.

Par contre dès la pyramide suivant, celle de Meidum, on assiste à un changement d’architecture, car la pyramide recèle seulement trois puits visibles, alimentés par le même circuit d’eau comprenant une descenderie « classique » à 26°, un couloir horizontal et une chambre, schéma que l’on retrouvera dans les deux pyramides suivantes, la rouge et la rhomboïdale.

Dans la pyramide de Meidum, ces puits ont bien entendu été bouchés et masqués.

Un puits a été déguisé en chambre mortuaire qui fait 15 M² de section.

Deux autres puits se présentent comme deux petites antichambres de 5.5 M² de section, mais ils ont été démasqués par G.Dormion et JY.Verd’hurt.

Dans le même concept, le seul moyen pour augmenter la performance est d’alléger le flotteur au maximum, c’est à dire renoncer au lest stabilisateur et faire guider l’équipage mobile par les parois du puits et de la cage qui le prolonge.

Ce guidage occasionne un frottement, mais c’est un frottement sous charge réduite donc peu consommateur d’énergie, il obligera cependant à une construction du puits et de la cage en maçonnerie fine, très soignée en matière de régularité des dimensions, du parallélisme et de l’état de surface, qualité dont les constructeurs des pyramides ont fait abondamment preuve.

Ainsi, pour reprendre les proportions des 11 flotteurs de Saqqarah section 3.5 M², profondeur du puits 33 m, si un flotteur deuxième génération y avait été placé, bien guidé par les parois avec un tirant d’eau de 13 m il aurait pu porter une charge de 3 x 13 = 39 t dont lui même pour 9 t, soit une charge « utile » de 30 t au lieu de 1 t.

Mais alors se serait posé la question, comment charger un plateau de 3 M² avec 30 t ?

Mais se présentait aussi la possibilité d’augmenter la porté à 28 m au lieu de 20 m avec 5 m de tirant d’eau pour le flotteur ce qui autorisait un poids total en charge de 15 t dont 8 t de charge utile.

On comprend sur cet exemple que le flotteur de deuxième génération ouvre un éventail de choix considérable pour les constructeurs entre la charge utile et la porté, tout en conservant des puits de sections très raisonnables.

Du fait de l’allègement le cycle de base = le temps de descente/montée du flotteur peut être divisé par 2  passant de 36 à 18 s et le rendement augmenter.

À la fin:

Pour illustrer prenons l’exemple du flotteur de deuxième génération à Meidum:

  • La section du puits de la chambre fait 15 M²
  •  La section des puits des antichambres fait 2.1 x 2.65 m, soit 5.5 M²

Cette différence entre la section de la « chambre » et des « antichambres » n’est pas normale, car ces 3 puits sont 3 étages du monte charge, ils devraient donc avoir des sections très proches.

Mais les constructeurs ne pouvaient décemment pas laisser une chambre « funéraire » de 5 M²!

C’est donc que la section du puits de la chambre a été réduite à partir d’une certaine hauteur dans la voûte, et un puits a été maçonné sous la voûte qui par la suite a été démonté.

Cylindres

Pour comparer les puits on peut se servir d’un indice de performance qui est  le poids maximum d’opérateurs que le plateau peut « normalement » accueillir, transformé en M3 de roche, divisé par le cycle de base, rapporté au volume de la pyramide, ce qui donne le temps minimum à plein régime pour remplir la pyramide.

Ici le plateau fait 5 M², soit 2.5 t d’opérateurs ou 1 M3 de bloc, temps de cycle 40 s soit un débit de 90 M3 / Heure, pour une pyramide de 0.636 MM3, cela représente un temps de remplissage de 1 800 H ou 2 ans.

Sa charge utile maximum avec 20 m de portée pour un puits de 23 m de profondeur eut été de l’ordre de 9 t.

Clairement un tel flotteur n’est pas le goulot d’étranglement du planning de la pyramide.

Pour ce flotteur dans les pyramides de Meidum à la rhomboïdale on retiendra la règle simplifiée suivante pour évaluer rapidement son dimensionnement

  • Le cycle montée – descente fait 40 s
  • La longueur du flotteur est la profondeur du puits
  • La portée du flotteur est 85 % de la profondeur du puits
  • La hauteur maximale atteinte est la cote du haut du puits + la portée du flotteur
  • La charge « normale » en tonnes est la surface du puits en M² divisée par deux.
  • La charge « utile » maximum du flotteur étant 3/40 fois le volume du puits en M3.

Traitement des charges lourdes:

Avec 2.5 t de capacité « normale » les puits de Meidum, pouvaient passer 99.9% des millions de blocs de construction. Mais la charge utile maximum était de 10 t.

Il se trouvent dans ces pyramides des blocs très lourds, par exemple 10 t, notamment dans le complexe mortuaire.

Comment faire monter un bloc de 10 t, quand la capacité normale du flotteur est de 2.5 t, limitée par la densité d’opérateurs sur le plateau?

Il faut garder présent à l’esprit que le flotteur est taré pour peser toujours le même poids Quelle que soit la charge à soulever dans la limite de sa capacité à flotter.

Ainsi tout au long de la journée, il monte toujours 10 t.

Quand la charge utile est de 1 t, le flotteur monte un bloc de 1 t et 9 tonnes de lest, sous la forme de 7.5 de lingots et 1.5 d’opérateurs restant sur le plateau.

Dan cet exemple seulement 1 t d’opérateurs fait le voyage à pied, les autres 1.5 t restent sur le plateau en monté comme en descente.

Si la charge avait fait 10 t à monter, il aurait fallu simplement laisser au sol les 7.5 t de lest, et les 2.5 t d’opérateurs qui tous remonteront à pied.

Mais il a fallu prendre la précaution préalable d’avoir stocké 7.5 t de lingots au niveau de l’assise pour pouvoir faire redescendre le flotteur une fois le bloc de 10 t débarqué sur l’assise.

Ce qui fait que pour la monté d’un bloc de 10 t, il a fallu la faire précéder de 3 montées de 2.5 t de lingots.

En fin de compte 4 trajets sont nécessaires pour un bloc de 10 t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A partir de la cote + 80 m, il restait à bâtir une pyramide aussi volumineuse que la première pyramide à degrés de Saqqarah, qui a mis en service 11 puits en parallèle pour être construite.

Grâce à l’augmentation considérable de la dimension des blocs par rapport à ceux de Saqqarah, dans la grande pyramide il ne restait que de l’ordre de 2 à 300 000 blocs à assembler, soit dix fois moins que dans la pyramide de Saqqarah pour faire ce volume, mais il ne restait dans le planning que de l’ordre de 500 à 1000 jours pour terminer la pyramide, soit toujours le même rythme de 400 blocs par jour, soit environ 2 mn par bloc, ce qui est incompatible avec un temps de 200 s par course du flotteur.

Il fallait donc faire évoluer l’architecture du flotteur en l’allégeant au maximum, ce qui conduit à supprimer le lest et donc en conséquence guider le flotteur dans le puits et la cage.

Cette disposition provoque un frottement du flotteur contre les parois du puits et de la cage, mais ce frottement est à faible charge donc peu consommateur d’énergie.

On verra par la suite que cette évolution divise par 4 à 5 de temps de parcours, le flotteur prenant de l’ordre de 100 s pour faire un va et viens, ce qui est compatible avec ce rythme.

Dans une pyramide lorsqu’on arrive au sommet, il ne reste que peu d’espace pour travailler, il fallait donc une section de cage aussi réduite que possible.

L’examen de l’assise 201 de la pyramide de Chéops, nous montre une section de cage maximum de l’ordre de 1 × 2,5 m avec laquelle le flotteur a pu monter au moins un bloc de 4 t de la dimension d’un ce ceux présent sur cette assise.

201assisegeometrie7

Fonctionnement du flotteur:

Pour fixer les idées, prenons l’exemple d’un flotteur de 2 M² de section capable de lever une pierre de 4 t à 33 m de hauteur dans un puits de 37 m de profondeur. On admettra pour l’exemple que le poids moyen des blocs sur cette assise est de 2 t.

La tige qui prolonge le flotteur est faite en treillis qui peut bien peser de l’ordre de 50 Kg au mètre pour une section de 2 M², soit 1.5 t pour 33 m de portée et un volume de 2 M³. En construction marine une coque étanche pèse environ 25% de la charge transportée soit environ 1.5 t

L’ensemble de l’équipage mobile à vide pèse donc 3 t , il en aurait pesé de l’ordre de 30 avec la technologie de Saqqarah. Emportant une pierre de 4 t le flotteur devra donc déplacer un volume d’eau de 7 M³, soit une longueur de l’ordre de 4 m.

Comme pour le flotteur de Saqqarah, il faut ajouter une jupe en partie basse pour faire une cloche d’un volume tel que l’air comprimé sous la cloche compense exactement le volume de la tige quand le flotteur s’enfonce.

Quand le flotteur est totalement coulé la pression absolue au niveau bas de la jupe est de 4.7 Kg/cm² à 37 m de profondeur, alors que flotteur en position haute elle n’est que de 1.4 Kg/cm² , il faut qu’entre ces deux positions le volume de la cloche d’air ait été réduit de 2 M³. Le calcul conduit à un volume de 1 M³ en position basse, 3 M³ flotteur en position haute, soit 4 M³ flotteur dans l’air, donc une longueur de jupe de 2 m pour la cloche d’air, il faut 7 M³ de flottabilité en tout donc la jupe se prolonge d’une coque étanche de 4 M³ soit 2 m de hauteur, soit en tout un flotteur de 4 m de hauteur.

Naturellement ces valeurs sont approximatives pour fixer les idées, dans la réalité l’ajustage aurait été beaucoup plus précis.

Dans la pyramide de Chéops, la hauteur d’assise atteinte par le troisième étage d’ascenseur est de 80 m, il en reste 66 pour arriver au sommet, donc avec 33 m de portée deux étages de flotteur submersible suffisent.

Chaque étage est donc fait d’un puits de 37 m de profondeur prolongé par une cage de 33 m, soit 70 m en tout, ce qui met le fond du puits du premier étage de flotteur submersible, ou quatrième étage d’ascenseur à 80 – 37 = 43 m soit le niveau du plancher de la chambre haute et le fond du puits du deuxième étage de flotteur submersible ou cinquième étage d’ascenseur à 76 m d’altitude.

Bien évidemment 2 M² de plateau ne peuvent porter que de l’ordre de 10 opérateurs au maximum, soit de l’ordre de 1 t de poids, le poids moyen du bloc étant de 2 t, il faudra placer les opérateurs sur deux niveaux , soit une charge de 20 opérateurs lestés à 100 KG = 2 t, alors qu’il en faudrait 4 t plus 100 Kg pour faire couler le flotteur.

Le moyen d’y parvenir est en fin de compte assez simple en utilisant des lingots de cuivre  pesant par exemple 50 Kg pièce, il en faudrait 40 + 2 => 2.1 t pour faire l’appoint.

Ces lingots se déplaçant entre le pas de chargement et l’assise, en cas de déficit de lingots sur l’assise, des « voyages » du flotteurs peuvent être prévus pour réapprovisionner l’assise avec les lingots stockés au niveau du pas de chargement par paquets de 2 t.

Comme le calepinage des assises est défini la veille de la pose des pierres, on connait pour chaque jour, la pierre la plus lourde à élever.

Plaçons nous pour l’exemple à la 201 ième assise niveau 136 m, le poids du jour est donc de 4 t, le pas de chargement se situe au niveau 113 m, les pierres y sont livrées par le quatrième étage. La portée d’élévation du jour est donc de 136 – 113 = 23 m, le niveau d’eau dans le puits à été ajusté pour cette portée.

Le matin en fonction de ce qui s’est passé la veille, on trouve un certain nombre de lingots au niveau 113 m et au niveau 136 m.

Au petit matin, le opérateurs des cinq étages soit de l’ordre de 150 ouvriers arrivent sur l’assise au niveau 136 m en grimpant sur des échelles posées le long des faces de la pyramide, les opérations de la veille avaient pris garde de laisser au niveau 136 au moins 42 lingots.

Ainsi, le poids du jour étant fixé à 4 t, le flotteur sera taré pour ce poids et le plateau sera chargé de 42 lingots, pour couler quand le 20 ième opérateur montera sur le plateau depuis la 201° assise.

Le flotteur coule, arrivé au niveau 113, le plateau est bloqué en position, les 20 opérateurs, vont descendre et procéder à la même opération avec l’étage inférieur, ils seront remplacés par 40 lingots pris au niveau 113, le plateau pesant 4 t remonte, une deuxième rotation va faire descendre 20 autres opérateurs et remonter 2t de lingots, même chose à l’étage inférieur.

Le stock de lingots disponible au niveau 136 s’est accru de 2 t, pris au niveau 113, lui même réapprovisionné de la même valeur par le niveau 80.

Ainsi les opérateurs descendent progressivement par paquets de 20 à l’intérieur de la pyramide, et rechargent le stock de lingots des niveaux supérieurs, les opérateurs qui quittent les 2 ascenseurs à flotteurs coulés, lancent progressivement toujours en descendant les 3 ascenseurs à flotteurs oscillants, quand tous sont en état de fonctionner, les 150 opérateurs sont tous descendus et les premiers font déjà l’ascension de la pyramide. Les premiers étages peuvent commencer à faire monter les pierres qui de paliers en paliers vont arriver au niveau 80 puis 113.

Tant qu’il restera au moins 42 lingots au niveau 136 ou sur le plateau, on pourra faire monter les blocs à la suite.

Si les blocs à monter pèsent moins de 4 t  des lingots resteront sur le plateau pour faire l’appoint jusqu’à 4 t, si les blocs pèsent moins de 2 t, la différence à 2 t pourra en fonction du besoin, faire remonter des lingots.

Pesant 7 t et soumis à la force générée par un poids de 100 Kg, l’équipage mobile voit une accélération relative de 9.82 × 100 / 7000 = 0.14 m/s², la descente de 23 m va durer T = √ 2 × 23 / 0.14 = 18 s, sa vitesse d’arrivée sera de 18 × 0.14 = 2.5 m/s ou 9 km/H ce qui ne représente aucun danger pour les opérateurs.

Le cycle monté descente remontée dure 36 s . En ajoutant le temps de chargement et déchargement du plateau,  on passe largement dans le temps de 90 s  par bloc qui est le rythme du chantier.

A chaque mouvement il y a l’énergie cinétique de 100 kg qui est perdue sur 4 t, soit un rendement énergétique de 97% au mieux, mais même si la charge « utile » n’était que de 1 t, il n’en serait pas moins de 90%.

Cet ascenseur rustique avec une seule pièce en mouvement, actionné manuellement, fournit pendant la monté chargé à 4 t une énergie de 4 × 9.82 × 23 = 900 KJ, ceci en 18 s ce qui représente une puissance instantanée de 50 KW!

Cependant le cycle moyen étant de 90 s et le poids moyen de 2 t, la puissance moyenne consommée dans la journée sera de 5 KW .

Pour arriver de zéro à 136 m toutes les 90 s cette pierre moyenne de 2 t, aura consommé une puissance de 30 KW, soit un effectif total d’environ 400 opérateurs à la manœuvre sur les 5 étages de flotteurs de la pyramide, au rythme de 20 opérateurs sortant de la galerie d’entrée toutes les 90 s et prenant les échelles pour grimper avec leurs bras et leurs jambe sur l’assise 201 au niveau 136 m, puis redescendre en cascade les 5 étages d’ascenseurs.

On peut observer que les constructeurs avaient beaucoup de marges de manœuvres pour optimiser leurs opérations.

En contre partie de la simplicité de cet ascenseur, une seule pièce en mouvement, comme TOUJOURS dans les pyramides on remarquera la précision d’exécution dans les poids mais aussi dans la maçonnerie des puits et cages, sans oublier la menuiserie du flotteur et de la tige.

 

Révision de physique élémentaire

Toute l’énergie du monde est dans la matière.
La mère de toutes les énergies est la force de la gravité elle ne s’annule jamais, nulle part,
elle prend naissance au cœur de la matière, elle s’exerce sur chaque particule de matière
partout dans l’univers.


Deux corps s’attirent mutuellement avec une force proportionnelle au produit de leurs
masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Ainsi agit la force de la gravité


Ces deux corps  disposent l’un vers l’autre de l’énergie potentielle de la gravité.
Ils se rapprochent avec une vitesse croissante, une partie de leur énergie potentielle s’est
transformé en énergie cinétique proportionnelle à leur masse et au carré de leur vitesse
relative.
Ils se percutent leur énergie cinétique s’annule comme leur énergie potentielle qui se sont transformées en chaleur, forme dégradée de l’énergie.

Ainsi agglomérés, ils forment une nouvelle masse qui se refroidit lentement, quelque part aux environs une autre masse exerce son attirance..


L’énergie potentielle de la matière est la forme la plus élevée de l’énergie.


Les corps en quantités innombrables s’agglomèrent en masses immenses, les proto-étoiles autour desquelles orbitent les proto-planètes.


La chaleur augmente à un point tel qu’une réaction thermonucléaire s’allume donnant
naissance à un soleil, nouvelle forme d’énergie prodigieuse dévorant la matière, cette énergie se transmet aux planètes par rayonnement.


Ce rayonnement par la photosynthèse fait pousser la végétation qui nourrit la faune.
Sur des milliards d’années une partie de la flore se transforme en charbon, une partie de
la faune en pétrole, énergies fossiles qui sont du soleil en bouteille, fils de la gravité.


Un humain faisant un effort physique de l’ordre de la centaine de watt est mu par le
métabolisme de la cellule musculaire qui « brûle » le glucose qu’il a dans le sang réduit par
l’oxygène que son sang transporte dans les globules rouges.


Un moteur thermique mille fois plus puissant brûle le pétrole ou le charbon avec l’oxygène de l’air.


Tous deux consomment de l’énergie solaire en bouteille, fille de la gravité, l’une
renouvelable à l’échelle de temps humaine, l’autre non.


Au temps des pyramides seule l’énergie musculaire était disponible, faible mais
indéfiniment renouvelable sur des millénaires.
Les constructeurs devaient donc en tirer le meilleur parti, sans pouvoir se permettre le
gaspillage énergétique que nous pratiquons aujourd’hui.


Pour cela ils mirent au point des méthodes de travail basées sur la conservation de
l’énergie.

De grands anciens nos ont laissé leurs pyramides témoignage de leur savoir.
Quel sera l’héritage dans cinq millénaires des énergies fossiles que nous dévorons?

 

Energie potentielle:
Soit un lecteur qui a eu l’audace de monter sur sa chaise,
Il vient d’acquérir une énergie potentielle Ep qui s’exprime par le produit de la hauteur H de la chaise, sa masse et l’accélération de la pesanteur = G.


Ep = M × H × G


Ep en joules quand M en kg , H en mètres et G = 9,81 mètres/s²

Chute des corps:

Encore plus audacieux il se laisse tomber au sol
Pendant le court instant de sa chute, il acquiert une énergie cinétique qui s’exprime par
le produit de sa masse M, le carré de sa vitesse de chute V le tout divisé par deux.


Ec = 1/2 × M × V²


Ec en joules quand M en Kg et V en mètres/ seconde


Courageux mais pas téméraire, il aimerait bien connaître sa vitesse avant de s’écraser au
sol,
Il applique, de façon simplifiée, le premier principe de la thermodynamique énoncé par
Sadi Carnot :


Dans toute transformation il y a conservation de l’énergie.


Donc en arrivant au sol, son énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle qu’il avait
sur sa chaise.


M × H × G = 1/2 × M × V²


Placée de chaque côté de l’égalité
la masse s’élimine, il en découle finalement:


V = √ 2 × 9,81 × H
ou encore V = 4,43 × √H, H en mètres, V en m/s

ou V = 16 × √H avec H en mètres, V en km/h.


Curieux, le lecteur aimerait connaître la durée de sa chute:
Dans un mouvement linéaire à accélération constante la vitesse est le produit de
l’accélération par le temps:


V = G × T


Si l’on remplace V par G × T dans l’égalité précédente on trouve:


T = √ 2 × H/G ou T = 0,45 × √ H


Une fois au sol, le lecteur pour ne pas se casser une jambe aura pris soin d’amortir sa
chute en faisant jouer ses muscles.
Ce faisant en vertu de la conservation de l’énergie, il aura dans son corps transformé son
énergie cinétique en chaleur. Tout lecteur ayant fait du « stepping » le sait bien !



En résumé un lecteur de 70 kg montant sur sa chaise à 0.6 m vient d’acquérir une énergie potentielle de 70 × 9,81 × 0,6 = 412 joules en faisant un travail de la même valeur, ce qui lui donne droit à l’arrivée au sol à une vitesse de 3,43 m/s ou 12,35 km/h sa chute n’aura duré que 0,35 s.


S’il répète ce manège toutes les secondes, il développe une puissance de 0,412 kw, il
sera vite fatigué !
Par contre en prenant 4 s il développera
une puissance de 0,1 kw et pourrait avec un peu
d’entraînement faire ça toute une journée de travail.


Pour que le bagage soit complet on y ajoute
le principe d’Archimède que tout le monde
connaît, depuis le temps, mais qui ne s’appelait ni ne s’énonçait ainsi sous les pharaons
de la IV° dynastie :


Tout corps plongé dans un liquide, reçoit une poussée verticale dirigée de bas en haut
égale au poids de liquide déplacé.


Ce principe reçoit une traduction dynamique:
Un flotteur dont le tirant d’eau est de H mètres se met à osciller s’il est déplacé
verticalement avec une période T = 2 × √H , T exprimé en secondes

flotteur
Je viens de vous exposer tout le bagage des sciences physiques dont ont fait preuve les
constructeurs de pyramide, aujourd’hui tous les élèvent sortant du niveau des études secondaire sont sensés en savoir autant.

Les « rampistes » ont perdu la guerre mais n’osent pas l’avouer

Beaucoup d’études ont été publiées qui ont décrit des méthodes pour déplacer les pierres constitutives de la pyramides à l’aide de traîneaux glissant sur des rampes externes ou internes, ci dessous une brochettes, non exhaustive de solutions proposées:

Rampes diverses

Je vais démontrer ci-dessous qu’aucune des solutions présentées par les tenants des rampes, ne permettait même dans le meilleur des cas de réaliser la grande pyramide dans le délai, avec les 2 000 ouvriers hébergés** dans la ville des travailleurs, car les traîneaux glissant auraient consommé plus que le total de l’effectif disponible!

** Labor and the PyramidsThe Heit el-Ghurab “Workers Town” at Giza 

Mark Lehner University of Chicago and Ancient Egypt Research Associates

Exerp: A Colloquium held at Hirschbach (Saxony), April 2005

Volume V, page 471

Cependant et pour cause! AUCUN des dizaines d’auteurs exposant leurs conceptions des rampes élévatrice n’a présenté le calcul pourtant simple qui permet de vérifier l’adéquation besoin/ ressource. Lire la suite

Comprendre le pendule

 

Rien de plus simple qu’un pendule, un poids suspendu à un fil,

mais en faisant se balancer le poids il peut rendre de grands services.

En le laissant se balancer, le pendule fait un mouvement alternatif  sinusoïdal dont en première approximation, la pseudo-période est égale à 2 x √L = longueur du fil entre l’axe et le centre de gravité du poids.

Ainsi un pendule de 1 mètre a une pseudo période de 2 secondes.

Quand l’amplitude des oscillations augmente, la période varie légèrement avec cette amplitude avec la formule T = 2 x √L x (1+(Amplitude en radians^²)/16).

Ainsi toujours pour L = 1 m avec une amplitude d’oscillation de 45° par rapport à la verticale, la période devient 2.08 s et 2.14 s avec 60° d’amplitude, ce qui change peu.

L’intérêt du pendule est qu’il se comporte comme un amplificateur de poids.

Au repos, la tension dans le fil qui le soutient est égale à la force engendrée par la masse du pendule, pour une masse M = 1 tonne, la tension T = 9.82 KN.

Mais le mouvement de la masse en rotation crée une tension supplémentaire dans le lien suivant une loi sinusoïdale fonction de l’angle de l’instant = a et de l’angle de l’amplitude maximum = A

T = 9.82 x M x (3 x cosinus(a) – 2 cosinus( A))

Ainsi avec une amplitude d’oscillation de 90° la tension dans le lien est multipliée par 3 quand le pendule fait un passage en position basse.

Par contre en position haute la tension passe à zéro.

Cette tension s’exerce sur le lien et provoque une réaction de l’axe qui soutient le lien égale à la tension.

Cette réaction peut être décomposée en deux projections, une horizontale, une verticale.

Ce qui nous intéresse plus particulièrement dans les applications de pendule à la pyramide est la composante horizontale, car elle peut servir de force de propulsion.

Cette composante varie aussi suivant une loi sinusoïdale dont on trouve ci-dessous l’image pour une amplitude maximum de mouvement de 45° et 60°.

On remarquera qu’avec une amplitude de 60° le maximum de la projection horizontale est très proche 85%, de la force engendrée par le poids de la masse, 60% pour 45°.

ForceHorizontale

Ce graphique se limite à une demi-période du mouvement, pour la demi période suivante, la même figure se reproduit, mais inversée.

Ainsi la composante horizontale de la force engendrée par le pendule est nulle en valeur moyenne.

Si l’on veut tirer partie de la force créée dans une moitié de période, pour engendrer un mouvement, il faut naturellement bloquer le mouvement pour la demi période suivante, sinon on obtient un mouvement alternatif, qui peut être intéressant dans certains cas d’utilisation, pour faire se mouvoir une scie par exemple.

Si l’on veut faire avancer une pierre sur un chemin avec un pendule, en la bloquant au moment du recul, on obtient une avance saccadée, la pierre avance d’une longueur pendant une demi période, puis s’arrête pendant l’autre demi période, puis repart de nouveau vers l’avant etc..

Il est important de comprendre que la force horizontale exercée par l’axe du pendule, prend naissance au cœur de la matière.

ELLE N’A BESOIN D’AUCUN POINT D’APPUI POUR S’EXERCER

Par exemple s’il fallait pousser une charge sur une pente verglacée, nul besoin de pneus à clous ou de chenilles pour exercer l’effort d’avancement, par contre il faut bloquer le mouvement de retour.

 

Gestion de l’énergie:

Tant que l’axe du pendule est fixe, le mouvement du pendule ne consomme qu’une d’énergie infime, juste le frottement de l’air et le frottement dans la corde. Quand l’axe fait un mouvement exerçant une force, il produit un travail en consommant l’énergie emmagasinée dans la masse du pendule, si l’on ne fait rien l’amplitude des oscillations diminue rapidement et le mouvement s’arrête.

Il faut rendre à la masse du pendule l’énergie qu’elle à donné, il faut pour ça céder à la masse du pendule une certaine énergie potentielle, par exemple en faisant monter des opérateurs sur la masse au point haut qu’ils quittent au point bas. A ces deux points la vitesse verticale est nulle, donc la totalité de l’énergie potentielle des opérateurs est cédée au pendule.

Mais ici une autre solution est plus performante: laisser des opérateurs sur la masse et leur demander de se dresser sur leurs jambes puis de s’asseoir sur leurs talons en rythme avec le mouvement du pendule, tous ceux qui ont déjà fait de la balançoire comprennent ça!

C’est d’ailleurs la solution générique ultra simple à mettre en oeuvre que je propose dans mon étude.

La question qui se pose alors est la suivante comment permettre à un opérateur faisant de la balançoire de fournir une puissance maximum de 200 W digne d’un sportif professionnel entraîné?

La réponse est simple mais dépend de la morphologie de l’opérateur:

Prenons par exemple un opérateur pesant 80 KG dont la longueur de fémur fait 0.4 m et le tibia 0.4 m aussi, entre la position assis sur les talons et la position debout, son centre de gravité s’est déplacé. Pour simplifier, son corps est composé de 3 masses, celle des pieds et tibias disons 10%, celle des cuisses disons 30% et le reste du corps 60%.

Entre la position assis et debout le centre de gravité des tibias n’a pas bougé, celui des cuisses a bougé de 40 cm, celui du reste du corps de 80 cm, tout se passe comme si 75% de son poids s’était déplacé de 0.8 m, il produit donc un travail de 470 joules à chaque élévation, pour produire une puissance de 200W, il faut une période de  470 / 200 = 2.35 s donc la longueur de la corde doit faire 1.4 m, ce qui est un peut faible pour faire tenir un  solide gaillard. Lestons le à 100 KG, à chaque élévation il produit 590 KJ, la période passe à 2.95 s la longueur de la corde à 2.17 m.

Balancoire

Cet exemple nous enseigne deux choses: il est aisé entre la longueur de corde et le lest de configurer un pendule adapté à une morphologie pour en tirer la puissance voulue, si l’on veut mettre plusieurs opérateurs sur le même pendule, il faut qu’ils aient des morphologies compatibles.

Les châssis auront une hauteur de l’ordre de 2 m et une base de l’ordre de 4 m de long, pour ne pas basculer sous le couple de la composante horizontale et une largeur qui dépendra du nombre d’opérateurs que l’on veut placer sur le pendule entre 1.5 m pour deux opérateurs, 2.3 m pour 4, 3 m pour 6 et 4 m pour 8.

On peut se poser la question à quoi bon un pendule?

La réponse est très simple et évidente, le pendule exerce une force proportionnelle à sa masse, si l’on veut engendrer une grande force, il suffit d’un pendule lourd, d’une bonne corde pour le soutenir et d’un châssis assez solide pour supporter le tout.

On peut donc créer une force importante à la fois horizontale et verticale d’une façon concentrée.

 

Par exemple dans la fonction de pousseur d’assise, qui nécessite peu de puissance, peu de déplacement, mais une force élevée et calibrée.

Pour fixer les idées, un bloc de parement de 6 t posé sur le mortier qui va le sceller, présente une force résistante de l’ordre de 20 à 30 KN pour ripper sur sa base, un pendule (en cuivre) pesant 3 à 4 t, actionné par un seul opérateur peut y parvenir aisément mais surtout avec PRECISION.

pousseur-assise

On peut s’en servir aussi pour pousser les blocs dans les rampes d’accès du Nil au chantier.

ParementNilGizeh

 

le gain en effectif par rapport à la traction en nombre avec des cordes est faible, mais le fonctionnement est sûr et régulier car on est à l’abri de glissades collectives quand la chaussée a été polluée par la sueur des pieds des nombreux opérateurs passant à la suite sur le même parcours.

Il est important de comprendre que le pendule permet de gérer indépendamment la force exercée qui ne dépend que du poids suspendu et de l’angle d’oscillation et la puissance produite qui ne dépend que du nombre d’opérateurs faisant de la balançoire.

Ainsi un seul opérateur chevauchant un pendule peut exercer la force de 100 opérateurs et plus tirant ou poussant ensemble. Pour exercer leur force les 100 opérateurs ont besoin d’un solide point d’appui non glissant pour leurs pieds, pour exercer la même force, le pendule n’a besoin d’aucun point d’appui.

Vanne à flotteur de la chambre des herses

Manoeuvre-Vanne-O

Cette vanne à guillotine dont la lame pèse 800 KG, servait à envoyer de l’eau à la demande dans le circuit d’eau de la chambre basse, via la grande galerie, elle est commandée manuellement par un opérateur à travers un mécanisme amplificateur d’effort utilisant une bielle brisée comme actionneur et la poussée d’Archimède pour la maintenir en équilibre prête à s’ouvrir à la moindre sollicitation de l’opérateur. Lire la suite

Changements de direction des rouleaux

Comme les chemins de fer d’aujourd’hui, les blocs progressent en ligne droite, mais du départ des carrières ou du débarquement des transports fluviaux à l’emplacement définitif, il y a forcément quelques changements de direction le plus souvent à 90°, ce qui a pour conséquence l’existence de plate formes de réorientation des blocs, comme dans les gares de triage. Lire la suite

Chargement des pierres à la volée

Le flotteur oscillant est en mouvement permanent, il ne peut pas s’arrêter pour charger et décharger les pierres, il faut donc l’équiper d’un système de chargement « à la volée » c’est à dire faire monter la pierre sur le plateau au point bas du mouvement et l’évacuer au point haut.

Le problème le plus facile est le point haut, car en perdant un cycle, c’est à dire de 7 à 12 s, il suffit de retenir le plateau sur des cales anti retour au point haut, alors que le flotteur redescend. On dispose alors d’un cycle pour évacuer le bloc avant que le flotteur vienne reprendre le plateau.

Mais le point bas ne nous offre pas cette facilité, néanmoins le mouvement de nature sinusoïdale du plateau est une aide importante pour faire cette opération.

En perdant un peu de hauteur de levage, on peut immobiliser le plateau avant son arrivée au point bas du mouvement sinusoïdal, on dispose ainsi d’un temps fonction sinusoïdale de la longueur de course perdue pour faire entrer le bloc sur le plateau immobilisé.

Néanmoins le temps gagné ainsi n’est que de l’ordre de 1.5 s, ce qui est très peu, pour déplacer un bloc de 7 t d’une longueur de 2 m pour le charger sur le plateau.

La solution élégante digne du frontispice du bureau d’étude de la pyramide: audacieuse, simple, efficace, fiable, peu coûteuse est d’utiliser une fois de plus les services GRATUITS de la pesanteur dans sa loi sur la chute des corps.

Par exemple dans le principe suivant, on dispose la charge centrée sur une dalle elle même posée sur une arête de pivotement, la dalle, comme le plateau est équipée du chemin de coins.

Quand le plateau arrive, il accroche cette dalle qui pivote vers lui, puis il se pose sur son support de chargement lui même en pente, le flotteur continue sa course vers le bas, il sera de retour dans 1.58 s pour reprendre le plateau.

Le bloc accélère sur la pente ainsi crée et passe en 1.5 s sur le plateau, son mouvement en fin de course est stoppé par une butée, une fraction de seconde plus tard le flotteur reprend le plateau dans son mouvement d’ascension.

Chargement Volée

Avec une période de 7.5 s l’achat de ce temps coûte 76° du cycle qui en fait 360, soit +/- 38° par rapport à un sommet, soit une élongation de cos 38° = 0.786, il faut « sacrifier » 21.4 % d’une demi course ou 10.7% de la course pour acheter ce temps de 1.58 s, soit dans l’exemple choisi 28 x 10.7% = 3 m.

Abandonnant le plateau sur son support de chargement, le flotteur va donc descendre de 3 m, puis remonter d’autant avant de reprendre le plateau.

Si au lieu de 7.5 s la période avait été de 10 s , la course perdue n’aurait été que de 6% soit 1.7 m au lieu de 3. On comprend l’intérêt d’avoir des oscillations à très basse fréquence.

Dans le mouvement de descente, dès que le plateau est immobilisé, on débloque la charge qui sous l’effet de la pesanteur accélère prend de la vitesse et progresse sur le plateau, une fois arrivée, une butée stoppe la charge, elle est « monté à la volée ».

Pour l’évacuation même principe, mais au lieu de disposer de 1.58 s on dispose de tout un cycle pour faire le mouvement.

Conditions pour déplacer une charge sur 2 m en 1.58 s en utilisant l’accélération de la pesanteur:

En utilisant la formule classique de la chute d’un corps sur une pente d’angle A avec l’horizontale le temps du mouvement T = racine(2 x L / (G x sin A)) fixant T et L il faut rechercher l’angle qui satisfait à la condition. sin A = 2 x L / (G x T²)

Pour T = 1.58 et L = 2 m sin A est 0.163, l’angle 9.38°, la pente 16.5% la hauteur de chute 0.33m.

La vitesse d’arrivée du bloc une fois en place est de V = racine ( 2 x G x H)

avec H =0.33m  la vitesse d’arrivée est de 2.55 m/s, si le bloc pèse 7 t son énergie cinétique est de 22.7 KJ qui doit être absorbé par une solide butée fixée sur le pas de chargement.

On peut remarquer que cette énergie donnée à la pierre pour monter à la volée sur le plateau est donnée GRATUITEMENT par la pesanteur terrestre (mais il a fallu préalablement payer en élevant la pierre!).

Il est inutile de rappeler que ce temps de montée à la volée est indépendant de la masse du bloc, que celui ci pèse 33 t ou 300 KG, il sera toujours 1.58 s, par contre elle dépend de la longueur qui doit entrer sur le plateau.

Pour que ce principe fonctionne avec succès, il est NÉCESSAIRE que les blocs se déplacent dans l’air de façon que le frottement soit négligeable.

 

Étanchéité flotteur cylindre

Quand le niveau d’eau dans le circuit hydraulique est plus haut que le débouché haut du puits contenant le flotteur, il faut assurer une étanchéité entre le flotteur et les parois du puits, sinon l’eau du circuit se vide par le haut du puits.

Assurer l’étanchéité du flotteur dans le puits revient à transformer le flotteur en piston car seule la tête du flotteur peut être en contact avec l’eau, le reste du flotteur est en contact avec l’air, il n’a plus besoin d’être étanche.

Cependant le puits fait entre 20 et 30 m de long, il est fait en maçonnerie, qui peut être très fine comme on peut le constater à la fois sur le parement et dans la chambre haute de Chéops, mais de là à assurer un état de surface de contact entre deux pièces en mouvement suffisamment plan sur une telle longueur pour empêcher l’eau de s’infiltrer il y a encore une marge importante.

La seule solution répondant aux cinq critères de la pyramide: audace + simplicité+efficacité+fiabilité+faible coût qui me vienne à l’esprit est de fermer le cylindre par une membrane fixée dans la paroi du puits de façon étanche à mi hauteur,  suffisamment grande pour contenir le piston et taillée de façon a pouvoir rester plaquée à la fois sur la paroi du puits et le piston dans son mouvement de va et viens.

DRAP

 

Membrane faite dans un tissu qui ressemble à celui dont on fait les outres, qui n’est pas totalement étanche, mais qui ne laisse passer l’eau qu’en très faible quantité, ce qui est suffisant comme niveau d’étanchéité.

En laissant un jeu suffisant entre le piston et le puits, par quelques centimètres  de chaque côté, la membrane sous l’effet de la pression de l’eau enveloppe le piston et se plaque contre la paroi du puits, ce qui a pour résultat que sur ces surfaces de contact elle n’est soumise à aucune contrainte.

La seule partie de la membrane soumise à une contrainte de pression est la partie située dans l’interstice piston/puits qui peut faire par exemple 2 cm de large donc une surface de 2 CM² par cm de longueur de tissus.

Avec un point haut du niveau d’eau à + 22 m et la demi hauteur du cylindre autour de – 15 m, la pression maximum sur la membrane est celle d’une colonne d’eau de 37 m de hauteur, entraînant une pression de 37 N/ CM² ce qui entraîne une force de traction sur le tissu à l’endroit ou il est en contact libre avec l’air de l’ordre de 74 N par cm de longueur, force qui se divise entre les deux laies, celle plaquée contre le cylindre et celle plaquée contre le piston, soit 37 N par cm de longueur ce qui est très peu. Le tissu n’est pas soumis à une grande contrainte et peut résister longtemps.

Etancheite

 

De plus ce tissu est mouillé, donc lubrifié dans sa déformation au cours du lent déplacement du piston ce qui accroît sa longévité.

Il est cependant certain qu’il faudra dans le temps le remplacer régulièrement comme pièce d’usure.

Par ce procédé l’étanchéité piston / puits est assurée, SANS FROTTEMENT, entre leurs deux surfaces, il suffit alors que ces surfaces aient une planéité de bonne qualité, mais un état de surface qui peut rester rugueux donc facile à obtenir en maçonnerie fine.

Dans cette configuration, les oscillations du piston n’entraînent qu’une consommation d’énergie très faible.

Il faut comprendre cependant que le flotteur de l’étage de la grotte fait environ 4 000 va et viens par jour, 20 millions sur la durée du projet, aucune membrane ne peut tenir aussi longtemps.

Cette solution a été réservée pour l’élévation des mégalithes dans l’ascenseur de la grotte pour booster la performance de l’élévateur, c’est à dire sur une hauteur d’assise à construire de 13 m, le reste du temps pour des millions de pierre, tous les flotteurs de la pyramide ont fonctionné sans étanchéité du flotteur dans le puits.

Flotteur oscillant

Le flotteur oscillant est une évolution du flotteur submersible inventé pour la pyramide de Saqqarah.

Il repose sur le phénomène naturel suivant, un flotteur correctement lesté, se met à osciller verticalement si on entretient cette oscillation.

Si H est la longueur du flotteur, à la course maximum, on trouve en simplifiant que la période est égale à √ (2 × H) par exemple 7.75 s pour un flotteur de 30 m.

flotteur

Ce flotteur peut faire un ascenseur vertical très performant, la hauteur de la course peut être très proche de la longueur totale du flotteur.

En se rapprochant de la solution du flotteur submersible de Saqqarah, si ce flotteur avait une longueur de 33 m ( la profondeur du puits) et une section de 3 M² ( proche de la section du puits), pour obtenir une course maximum, il devrait a son point d’équilibre hydrostatique avant d’être mis en oscillation être à demi immergé, soit avoir un tirant d’eau de 16.5 m, tenant alors une colonne d’eau de 16.5 m de haut et 3 M² de section, il devrait peser 50 t et osciller avec une période proche de 8 secondes .

50 t, poids considérable qui serait obtenu en accumulant des lingots de cuivre dans sa partie inférieure. Ce lest abaissant notablement son centre de gravité sous le point de résultante de la poussée d’Archimède  assure une grande stabilité verticale.

Cependant pour des raisons que l’on comprendra plus loin il faut limiter à 30 m la course à vide.

  • Une fois mis en mouvement par des opérateurs avec une amplitude de +/- 15 m pour une course totale de 30 m sans charge à soulever, ce flotteur a une énergie potentielle de 50 x 9.82 x 15 = 7 365 KJ ou 2 KWH, au point haut de son mouvement, qui se transforme totalement en énergie cinétique lorsqu’il passe en son point d’équilibre hydrostatique et vice versa, indéfiniment avec un besoin infime d’apport d’énergie pour entretenir ce mouvement.
  • Si au point bas de sa course on charge une pierre de 25 t sur le plateau du flotteur, l’énergie emmagasiné par le mouvement du flotteur, n’aura pas changé, mais le poids de l’ensemble sera plus élevé de 25 t, donc l’amplitude du mouvement va diminuer pour que l’énergie potentielle au point haut retrouve la même valeur.
  • L’amplitude de l’oscillation va varier proportionnellement aux charges, donc dans cet exemple, de 30 m elle va passer à 30 x 50 / 75 = 20 m
  • Le flotteur élèvera donc la pierre de 25 t à 20 m de hauteur en un temps égal à 1/4 de période soit  2 secondes!
  • Le prix à payer sera de devoir faire descendre par le flotteur un poids d’opérateurs égal à 25 t également, mais au lieu de faire cette compensation dans un seul va et viens, (ce qui est le cas du flotteur submersible) qui aurait demandé un plateau de 50 M² ( la section du puits central à Saqqarah) pour loger tous les opérateurs, alors que la pierre occupe moins de 3 M² de plateau, maintenant on peut faire la compensation sur plusieurs oscillations à vide.
  • Avec 3 m² de plateau on peut faire descendre 1.5 t d’opérateur par période, il faudra alors 17 périodes de fonctionnement à vide avec à chaque descente 15 opérateurs sur le plateau pour rendre au flotteur son énergie potentielle initiale qui se traduira par une amplitude d’oscillation à vide de +/- 15 m.
  • Le cycle total avant de pouvoir prendre une nouvelle charge sera alors de 17 périodes soit 136 s.
  • Dans le même puits qui élevait à 20 m une charge de 1 t en 76 s avec un flotteur submersible, le flotteur oscillant y élève 25 t toutes les 136 secondes.

La performance du flotteur oscillant dans le même puits est multipliée par 25 en terme de poids maximum à élever et par 14 en terme de débit massique.

Cependant pour accéder à cette performance il y a deux conditions préalables à remplir chacune posant un problème technologique ardu:

  1. Le flotteur étant toujours en mouvement, il faut être capable de charger une pierre sur le plateau à la volée en moins de 1.5 s et la décharger en 8 s. C’est un problème de mécanique dont une solution est expliquée ici.
  2. Le flotteur oscillant déplace beaucoup d’eau (45 M3 dans l’exemple) et il ne faut pas que le niveau d’eau soit trop modifié par la course du flotteur. Il faut construire à l’intérieur de la pyramide, un réservoir d’eau qui présente une surface importante de 20 à 30 fois la section du flotteur, alors que cette chambre est soumise à une pression de pierres énorme. C’est un problème d’architecture .

Fort heureusement par rapport à un sous marin cette pression ne s’exerce que verticalement de haut en bas mais pose un problème de résistance mécanique du toit, qui sera résolu par un toit en double chevron.

La première précaution  prise était de chercher à limiter la section du flotteur pour minimiser la surface du réservoir, mais c’était alors au détriment du poids maximum que l’on pouvait élever dans la pyramide.

Dans la pyramide de Chéops les dimensions de chambres sont conséquentes grâce à l’utilisation d’un grotte taillée dans la roche pour le premier étage: 116 M² de surface, l’adjonction d’une galerie horizontale de 40 M² de surface à la chambre basse: 71 M² de surface en tout et une chambre haute de 50 M² qui pouvait suffire pour un flotteur de section réduite.

La longueur du flotteur est la portée de l’élévateur à vide, en partie haute le flotteur reçoit le plateau porte charges.

Avec très peu de frottements cet oscillateur à un grand « facteur de qualité », ce qui veut dire qu’avec une infime quantité d’énergie on peut entretenir des amplitudes d’oscillation considérables.

On a compris que ce flotteur est très lourd, si on lui demande de soulever une pierre, il va le faire facilement en cédant à cette pierre une partie de l’énergie qu’il avait emmagasinée dans son mouvement.

Cédant son énergie, l’amplitude de ses oscillations va être réduite, il faudra que des opérateurs lui restituent l’énergie perdue avant que le flotteur ne lève une nouvelle charge.

Comment?

Très simplement en prenant place depuis l’assise sur le plateau qui a monté la pierre quand ce plateau descend, ils cèdent ainsi l’énergie potentielle qu’ils avaient acquise à la force de leurs muscles en gravissant avec leurs jambes des échelles posées contre la paroi extérieure de la pyramide, depuis la base jusqu’à la hauteur de l’assise en cours de remplissage.

Prenons un exemple pour illustrer:

Le plateau vient d’élever une pierre de 3 t sur l’assise, cette élévation a pris 2 secondes pour une période d’oscillation de 8 s. Si la hauteur de levage avait été de 20 m la puissance instantanée produite par le flotteur pendant la monté aurait été de 300 KW!

Si le plateau avait fait 5 M² de surface 25 opérateurs lestés à 100 KG auraient pu y prendre place pour accompagner sa descente, soit l’équivalent de 2.5 t.

Mais si 3 t montent, on a besoin que 3 t descendent pour compenser l’énergie perdue, ceci ne peut se compenser en une seule fois, il faut donc 2 montées dont une en charge et une à vide et deux descentes de 15 opérateurs, pour remettre l’élévateur dans l’état d’énergie initial, avant de pouvoir monter à nouveau une pierre.

Finalement en 2 cycles, soit 16 s 3 t on été élevée de 20 m soit une puissance moyenne de 37 KW délivrée. Pour tenir ce rythme sur toute la journée il aurait fallu une équipe de 37 000 / 80 = 460 opérateurs se relayant, mais si l’on se contentait d’une élévation toutes les 88 s qui est le rythme moyen de pose des pierres dans la pyramide, alors la puissance moyenne passe à 7 KW  et l’équipe nécessaire se limiterait à 88 individus.

C’est une régulation numérique à un pour un exacte à quelques KG près sur quelques tonnes, c’est un exemple de plus de la précision dans la pyramide!

Il faut comprendre qu’il y a deux modes possibles de fonctionnement de ce flotteur dans un cylindre:

  1. Le flotteur est immergé dans la colonne d’eau, il oscille autour de la ligne de flottaison de son point d’équilibre hydrostatique, le mode le plus simple à réaliser.
  2. Le flotteur, en fait un piston, est au dessus de la colonne d’eau qu’il comprime ce qui nécessite une étanchéité entre le piston et le cylindre.

Pourquoi se compliquer la vie à faire une étanchéité entre le piston et le cylindre?

Pour la raison suivante:

  • Dans le premier cas, le niveau d’eau du circuit ne peut dépasser le haut du cylindre, sinon le circuit se viderait par cet orifice. La course du flotteur ne peut être supérieure à la longueur du cylindre, donc à la course maximum, en équilibre statique, le flotteur est immergé de sa demi hauteur et en fonction du principe d’Archimède va peser un poids qui est égal à son volume immergé, poids qui peut être de l’ordre de 50 t.
  • Dans le deuxième cas, le niveau de l’eau dans le circuit peut être notablement au dessus du point haut du cylindre puisque l’eau ne passe plus entre le cylindre et le flotteur qui devient de facto un piston. A la course maximum, au point d’équilibre statique, le flotteur-piston sera encore engagé à mi-course dans le cylindre, mais au lieu de repousser seulement sa demi-hauteur d’eau, il devra repousser en plus tout le dépassement de niveau du haut du cylindre, pour ça il devra être d’autant plus lourd frisant les 100 t, donc plus puissant et osciller avec une période plus grande.

Flotteur immergé:

principeCh-Haute

La masse M du flotteur de longueur L et de section S est donnée par l’équilibre statique où le niveau d’eau arrive à mi-longueur du flotteur, la densité de l’eau étant 1, M=(L × S)/2. Ainsi pour une hauteur de levage à vide de 30 m et une section de flotteur de 3 M² la masse du flotteur sera de 45 t, avec un flotteur en bois, pour obtenir un tel poids, il faudra le lester en partie basse avec des lingots de cuivre.

En fait, tout en respectant sa solidité pour soulever de lourdes charges sans plier, on a intérêt à ce que flotteur lui même soit le plus léger possible et donc le lest en position basse le plus lourd possible, pour que le centre de gravité du flotteur soit le plus bas possible, gage de stabilité verticale dans son mouvement.

La conséquence en sera que pour 80% de la course du flotteur, le centre de gravité, se situera en dessous du centre de poussée, donc la trajectoire du flotteur sera exactement verticale, c’est le travail de la pesanteur.

La limite supérieure de la hauteur d’élévation est donnée par la capacité technologique de réaliser des flotteurs étanches de grande longueur capables de supporter de lourdes charges.

Flotteur piston:

Il n’existe que pour l’oscillateur de la grotte souterraine de Chéops dans une configuration particulière pour soulever les mégalithes du toit de la chambre haute:

TypeCheops piston

Dans cette configuration, le niveau d’eau dans le circuit peut être notablement plus élevé que le point haut du cylindre (21 m d’altitude contre 3 m), donc pour maintenir l’équilibre statique au même point de fonctionnement, il faut alourdir le flotteur-piston ce qui permet à la fois d’augmenter la période de l’oscillation et la capacité à soulever des charges plus lourdes.

Ce schéma impose une étanchéité piston cylindre qui est un problème difficile qui a été résolu avec élégance par les constructeurs, mais néanmoins cela introduit une pièce d’usure donc une fragilité, il y a des millions de pierres à monter mais des dizaines de millions de va et viens des flotteurs élévateurs.

Ce schéma ne fut donc utilisé que pour une ou deux centaines de pierres, les mégalithes du toit de la chambre haute et du complexe mortuaire.

Les équations de fonctionnement sont les même mais la masse du piston flotteur est plus élevée que celle du flotteur immergé.

Des six grandes pyramides à faces lisses, seulement deux: celles attribuées à Chéops et Khéphren disposent de flotteurs oscillants et seulement pour les 3 premiers étages. Les 4 autres pyramides et les étages supérieurs de ces deux dernières utilisant les flotteurs submersibles de deuxième génération.

 

 

 

 

 

 

 

 

Flotteur submersible

L’hydraulique des pyramides est simple mais subtile, il n’y a qu’une seule pièce en mouvement = un flotteur dans de l’eau.

Marchant à l’énergie humaine, malgré cette rusticité on constatera plus loin qu’elle a donné lieu aux élévateurs les plus performants jamais réalisés sur terre à ce jour.

Trois types ont été utilisés consécutivement:

  • Le flotteur submersible à contre poids dans la pyramide de Saqqarah
  • Le flotteur submersible guidé dans toutes les pyramides suivantes
  • Le flotteur oscillant dans les premiers étages des pyramides de Chéops et Khéphren.

Nous allons examiner ici les conditions de fonctionnement du flotteur submersible:

On trouve sous la base de la pyramide de Saqqarah 11 puits  alignés sous la face Est de 3.5 M² de section et 33 m de profondeurs et un puits central de 49 M² de section de même profondeur. Le prolongement vertical des puits de la face Est rejoint la face de la pyramide à la hauteur de 20 m, des flotteurs de 33 m de long plongé dans ces puits pleins d’eau pouvait élever des pierres, de la base, jusqu’à cette hauteur.

Le flotteur submersible n’est qu’une embarcation dont la coque est totalement étanche, comme un sous-marin, conçue spécialement pour soulever une charge placées sur son pont surélevé de 20 m par une tige.

Au lieu de faire un parcours horizontal, comme tout bateau ordinaire, il fait un parcours vertical d’amplitude maximale 20 m.

Comme tout navire, pour ne pas chavirer, ce flotteur est stabilisé par un lest qui fait contre poids sous la ligne de flottaison.

Djoser-Flotteur

Fonctionnement:

  • La partie haute du puits arrive au niveau zéro = la base de la pyramide.
  • A ce niveau on trouve un pas de chargement des pierres accédé par une galerie sous la pyramide amenant les pierres des carrières.
  • Le puits se prolonge en hauteur par une cage de section très peu différente qui part du pas de chargement et débouche sur l’assise.

Le principe de fonctionnement est très simple, prenons l’exemple d’un flotteur capable de soulever une charge de 1 t

  1. Le flotteur flotte à vide dans le puits, son plateau est à la hauteur de assise de la pyramide
  2. Des opérateurs lestés à 100 KG montent sur le plateau depuis l’assise, la monté du onzième fait couler le flotteur lentement sous une charge de 1.1 t.
  3. Flotteur coulé, le plateau est au niveau zéro du pas de chargement
  4. On place une charge sur le plateau.
  5. Les opérateurs se retirent un à un.
  6. Quand le poids sur le plateau est inférieur à 1 t celui ci-remonte au point de départ en un seul mouvement.
  7. Les opérateurs ayant quitté le plateau remontent sur l’assise avec leurs jambes, ils font parti d’une équipe en nombre suffisant pour faire une rotation continue, ainsi à chaque instant, il y a toujours sur l’assise assez d’opérateurs pour faire couler le flotteur.
  8. Arrivé à hauteur de l’assise la charge est évacuée, un nouveau cycle peut recommencer.

Comment être sûr que les lest stabilisateur a bien existé?

Le flotteur aurait très bien pu être stabilisé, sans lest, par des guides placés dans le puits et la cage, au prix d’un frottement faible car très peu chargé.

Dans cette circonstance le flotteur lui même, sa tige, son plateau et la charge posée dessus ne pèsent que de l’ordre de 9 t, il aurait suffit d’un volume de flotteur de 9 M³, donc de 3 m de hauteur dans un puits de 3 M², pour soulever l’ensemble, le puits n’aurait eut alors que 23 m de profondeur et non pas 33 m.

La construction en granite laissée au fond du puits central est donc bien un lest et non pas un caveau.

Regardons maintenant les conditions de fonctionnement de cet élévateur.

La section du puits étant de 3.5 M² admettons que celle de l’équipage mobile soit de 3 M² pour laisser une jeu fonctionnel dans le coulissement.

Admettons que lest ait été fait de cuivre, car on n’a rien retrouvé au fond des puits, on peut donc supposer que le cuivre a été récupéré.

Sur la longueur du puits si on laisse 1 m pour le lest, il restera au maximum 12 m pour le flotteur, qui pourra recevoir une poussée maximum de 36 t, en construction navale pour des coques ouvertes, le poids de la coque est entre 15 et 20% du déplacement d’eau, j’admets 8 t pour le poids du flotteur.

Admettons que la cage fasse 4 M², pour avoir un jeu de déplacement de 0.15 m, le plateau peut faire 3 M² de section, en bois il peut peser 500 Kg.

La tige sera en treillis fait avec des poutres de bois de 10 cm de coté ( l’idéal eut été en tiges de bambou percées), admettons que sa base fasse 1.5 x 1.5 m et qu’il y ait une ceinture tous les 2.5 m avec une poutre en diagonale, chaque ceinture fait 13 m de développé il y en a 8 soit 104 m de poutre pour le treillis et 80 m de poutres verticales soit 200 m de longueur de poutres en tout, ce qui représente un volume de 2 M³ et un poids de 1.5 t.

En s’enfonçant dans l’eau du puits, une fois l’équipage mobile en position basse, la tige va recevoir 2 t de poussée d’Archimède, il faudra donc diminuer d’autant le volume du flotteur. Ce qui peut se faire en aménageant en partie basse du flotteur un volume en cloche emprisonnant de l’air, en s’enfonçant la pression d’eau comprime ce volume d’air diminuant d’autant la flottabilité.

De la position haute à la position basse, la pression absolue en bas de flotteur double, mais entre le flotteur en position haute et flotteur non encore mis à l’eau la pression du volume d’air double également, donc pour 2 M³ de variation de la poche d’air en fin de course, il faudra aménager une « cloche » d’un volume de 8 M³, occupant 3 m de longueur de puits, il reste donc 9 m de longueur de flotteur étanche, ce qui représente 27 M³ de poussée + 4 de cloche, soit 31 M³, ce qui donne le poids maximum de l’équipage mobile de 31 t. Si l’on enlève les poids du flotteur, de la tige et du plateau qui représente 10 t, il reste 21 t pour le lest et la charge.

En position chargé, le tirant d’eau du flotteur est quasiment sa longueur, donc le centre de poussée est très proche du centre de gravité, on va admettre le flotteur naturellement équilibré, le centre de poussée se situe à mi hauteur du volume d’eau de 31 M³, soit à 5 m sous la surface d’eau donc sous le niveau zéro de la pyramide. Le centre de gravité du plateau se trouvera donc à 25 m du centre de poussée donnant un couple de chavirement de 0.5 × 25 =  12.5 t×m. Le centre de gravité de la tige se trouvera à 15 m du centre de poussée, donnant un couple de chavirement de 1.5 × 15 = 22.5 t×m, soit en tout 35 t×m.

Le centre de gravité du lest est à 7.5 m du centre de poussée, pour équilibrer la tige et le plateau il devrait peser 35 / 7.5 = 4.7 t arrondi à 5, il reste 16 t à se partager entre la charge et le lest, le centre de gravité de la charge pourra être à 26 m du centre de poussée, le rapport d’équilibre entre la charge et le lest sera de 3.47, ce qui conduirait à une charge « théorique » maximum de 4 t,  pour 12 t de lest ceci correspondant à l’équilibre, charge exactement centrée dans l’axe du flotteur.

Mais bien évidement, cette condition n’est jamais atteinte, il y aura toujours un décentrage de la charge sur le plateau, par ailleurs l’examen de la pyramide montre que le bloc de remplissage le plus gros pèse environ 300 KG.

En prenant 1 t de charge, il faut 4 t de lest pour l’équilibrage, laissant un excédent de 11 t, ce qui pour un déplacement latéral tolérable du plateau de 0.1 m dû à un décentrage de cette charge autorise un couple de renversement de 11 × 0.1 / 26 × 7.5 = 0.32 t×m, soit un décentrage tolérable de 32 cm de cette charge de 1 t.

En conclusion:

Le calcul ci-dessus, n’a pas la prétention de représenter ce qui s’est réellement passé dans ces puits, cependant il cerne avec un certain réalisme, les conditions maximales de performances accessibles aux constructeurs avec leur technologie du moment.

On remarquera qu’autour de 1 t de charge, cet ascenseur pouvait fonctionner dans des conditions fonctionnelles « confortables », ce qui par rapport au poids unitaire des blocs de remplissage laissait aux constructeurs un grande latitude d’organisation.

Ce flotteur élévateur est d’une grande simplicité apparente, d’un fonctionnement sûr et tranquille, il faut cependant prendre conscience que son dimensionnement doit être très précis, comme TOUJOURS dans les pyramides, pour fonctionner correctement, en particulier l’ajustement du volume variable sous le flotteur et la connaissance du poids des pierres à élever.

Dynamique du flotteur:

A 100 Kg près, à capacité de charge maximum l’équipage mobile pèse toujours le même poids de 31 t que ce soit à la descente comme à la monté

Descente:

Il faut s’assurer que le flotteur ait une vitesse acceptable en arrivant au fond, pesant 31 t en charge, il reçoit une poussée d’Archimède de 31 t qui l’équilibre exactement, 100 kg de charge supplémentaire le font couler, tout se passe comme si l’accélération de la gravité était alors 0.1 / 31 de la normale, soit 9.82  × 0.1 / 31= 0.031 m/s², pour une chute libre de 20 m la vitesse à l’arrivée sera de √( 2 × 0.031 x 20) =1.11 m/s ou 4 KM/H ce qui est équivalent pour les opérateurs de sauter à pieds joint d’une marche de 5 cm, ce qui est parfaitement acceptable. Le temps du trajet aurait été de √ (2 × 20 / 0.031) = 36 s.

Cependant arrivé au point bas, l’ensemble aura acquis une énergie cinétique de 1/2 × M × V² soit 20 KJ, cette énergie cinétique sera absorbée par le fond du puits et perdue.

Montée:

Avec le même déséquilibre de 100 KG la monté se fera aussi en 200 s, mais le flotteur aura au moment de l’arrivée une énergie cinétique de 20 KJ, pour éviter que cette énergie fasse dépasser au plateau le niveau de l’assise puis le faire entrer dans une longue série d’oscillations, celui-ci est stoppé par une butée sur l’assise faite de blocs suffisamment lourds. Ainsi la charge peut être immédiatement transférée sur l’assise et les opérateurs prendre place sur le plateau pour faire couler le flotteur à nouveau.

L’énergie potentielle donnée à une charge de 1 t est de 1 ×  9.82 × 20 = 200 KJ en 36 s ce qui correspond à une puissance « utile » de 200 / 36 =5.5 KW, ce qui est tout à fait honorable pour le premier ascenseur hydraulique jamais réalisé sur terre, actionné uniquement par des hommes!

Pour élever une charge de 1 t, il faut « consommer » 100 Kg pour assurer le mouvement, cet élévateur à un rendement énergétique maximum de 90 %.

On pouvait diminuer les temps de transfert en augmentant la différence de charge en ajoutant du personnel et diminuant le rendement d’autant.

Bilan de cet élévateur:

Sur le plan de l’investissement, il est très simple et peu coûteux, il prend au sol un encombrement très faible, son mode de fonctionnement est tranquille, sans difficulté.

Sur le plan des performances, son cycle de fonctionnement est de l’ordre de 2 à 3 minutes entre la montée, la descente le chargement et le déchargement des pierres. Ceci pour élever une charge de 1 t à 20 m de hauteur avec 11 ouvriers, ce qui est très performant.

Le fait que les constructeurs aient placé onze de ces puits en parallèle signifie que sur l’assise 11 équipes de remplissage travaillaient en parallèle, et que par conséquence, en provenance des carrières il y avait onze files de transport de pierres.

Ce nombre de onze valait pour le début du chantier car au fur et à mesure de l’élévation, les puits d’extrémités ne donnaient plus sur l’assise et donc étaient abandonnés. Quand l’assise avait 20 m de hauteur, les 4 puits d’extrémité étaient déjà hors service.

Au final pour élever les pierres, ces opérateurs n’ont qu’une chose à faire = monter sur l’assise avec leurs jambes et se laisser descendre sur un plateau, ce qui ressemble plus à une promenade de santé qu’à un travail traumatisant, comme tirer avec une corde une charge très lourde.

Puits central:

Section 49 M², profondeur 29 m, le lest a été laissé dans la pyramide avec pour but de leurrer les pilleurs et archéologues en laissant croire que ce volume était la chambre mortuaire du roi.

Je prétends que ce volume était le lest d’un gros flotteur destiné à élever des charges bien plus lourdes, probablement les pierres du complexe funéraire, jusqu’à 20 – 25 m d’altitude au cœur de la pyramide.

Un analyse rapide du lest va nous renseigner sur le poids maximum des pierres élevées.

Le volume en granite mesure à l’extérieur 3 × 5 × 3.8 m =  57 M3 si l’on prennait, ce qui est courant dans les pyramides, une épaisseur de mur de 1 m, le volume intérieur serait de 11 M3 .

Se pose la question, pourquoi ce trou au plafond pour accéder au « caveau de Djoser »?

Les lest descend au fond du puits avec 29 m d’eau au dessus, donc la pression est de 2.9 Kg/ CM², soit sur le mur intérieur le plus grand une force répartie appliquée de 1600 KN de quoi faire imploser le volume, c’est l’expérience du « crève tonneau » à l’envers.

Pour éviter cette catastrophe les constructeurs ont donc joué la prudence en remplissant le lest d’eau équilibrant les pressions internes et externes, puis à la fin ont rajouté le bouchon pour parfaire la mise en scène à destination des archéologues du futur et des pilleurs du présent.

djoser-room-toit

Voilà pourquoi l’entrée du « caveau du roi » est au plafond et non pas au rez de chaussée!

Avec des murs de 1 m d’épaisseur ce volume pèserait dans l’air 116 t et 127 plein d’eau, mais immergé il reçoit une poussée de 57 t il pèsera donc 70 t, son centre de gravité étant à 5.5 m du centre de poussée du flotteur placé au dessus, si celui-ci avait été un parallélépipède de 40 M² de section et 4 m de hauteur, pesant 48 t et portant une tige de 20 m de hauteur pesant 16 t, soulevant un plateau de 8 t.

On pouvait donc avoir sur le plateau une charge qui ne devait pas dépasser 15 t pour que l’équipage mobile reste stable. Ce faisant la barre était placée très haute pour les pyramides suivantes!

Pour faire couler le flotteur il ne fallait pas moins de 150 opérateurs lestés à 100 Kg soit une densité de 3 hommes au M².

Pourquoi des pierres si lourdes?

Le volume d’une chambre mortuaire « convenable » nécessite un toit en voûte ou à double chevrons, ce qui nécessite des blocs conséquents, mais il y a aussi le sarcophage massif bien sûr! conteneur et couvercle, on ne prend pas un aller simple pour l’éternité sans une « capsule temporelle » adéquate.

Ce poids au regard de ce que l’on trouve dans la pyramide de Chéops est modeste puisque certains blocs y pèsent trois fois plus, mais la barre est placée pour les pyramides suivantes, honte au pharaon qui ne pourra faire monter dans sa pyramide une pierre ne dépassant pas 15 t !

Le jour où on ira rendre visite à la dépouille de Djoser, on découvrira au centre de cette pyramide un complexe mortuaire digne des bâtiments que l’on trouve dehors en terme de taille et de qualité de finition, mais construit avec des blocs bien plus imposants et très probablement en granite et de construction parfaitement étanche, bien qu’ils aient été élevés à 20 m d’altitude.

NB: les valeurs données ci-dessus sont des valeurs limites pour illustrer la problématique, il est tout à fait probable que les valeurs réelles utilisées par les constructeurs, à part la section et la profondeur du puits aient été différentes.

Conclusion:

Le flotteur coulé, première utilisation de la poussées d’Archimède, pour lever les pierres se révèle posséder les qualités de simplicité de fonctionnement, coût d’investissement réduit, ainsi que l’encombrement au sol.

Cependant en regard des exigences de plus en plus grande des pharaons, il se trouve limité en performance de débit et de charge absolue, alors que les méthodes anciennes utilisant des rampes ont été largement rendues obsolètes.

Quand on étudie finement le fonctionnement dynamique de ce flotteur on constate que dans sa remontée, lorsque le pont du flotteur crève la surface de l’eau, emporté par son élan, il continue sa course vers le haut un certain temps puis se met à osciller.

Pour cet ascenseur l’oscillation est un phénomène parasite qui empêche de débarquer la charge et qu’il faut étouffer.

Les prêtres savants et ingénieurs qui se sont concentrés pendant des années sur ces problématiques hydrauliques, ont fini par tirer parti de cet inconvénient = les oscillations parasites du flotteur, pour concevoir l’élévateur le plus puissant au monde qui n’ai jamais existé même en nos temps modernes, le flotteur oscillant qui sera implémenté dans les pyramides de Chéops et Khéphren.

Cependant le flotteur submersible de Saqqarah ne sera pas abandonné pour autant, une deuxième génération obtenue en s’affranchissant du contre poids, sera mise en service dans TOUTES les pyramides suivantes.

Son faible coût, sa simplicité de fonctionnement et surtout son faible encombrement sur une assise de plus en plus réduite seront ses atouts.

Par la suite quand il s’agira de reboucher les puits devenus inutiles et compromettants, puis finalité des finalités conduire la procession d’inhumation du roi dans ses appartements d’éternité, c’est encore ce flotteur tranquille qui se chargera de la besogne, comme quand il faudra pour solde de tous comptes,  de bas en haut, boucher les derniers puits qui ont conduit le roi dans sa dernière demeure afin que quiconque ne puisse venir déranger le roi dans son repos éternel.

À ce jour MISSION ACCOMPLIE!