Comprendre le pendule

 

Rien de plus simple qu’un pendule, un poids suspendu à un fil,

mais en faisant se balancer le poids il peut rendre de grands services.

En le laissant se balancer, le pendule fait un mouvement alternatif  sinusoïdal dont en première approximation, la pseudo-période est égale à 2 x √L = longueur du fil entre l’axe et le centre de gravité du poids.

Ainsi un pendule de 1 mètre a une pseudo période de 2 secondes.

Quand l’amplitude des oscillations augmente, la période varie légèrement avec cette amplitude avec la formule T = 2 x √L x (1+(Amplitude en radians^²)/16).

Ainsi toujours pour L = 1 m avec une amplitude d’oscillation de 45° par rapport à la verticale, la période devient 2.08 s et 2.14 s avec 60° d’amplitude, ce qui change peu.

L’intérêt du pendule est qu’il se comporte comme un amplificateur de poids.

Au repos, la tension dans le fil qui le soutient est égale à la force engendrée par la masse du pendule, pour une masse M = 1 tonne, la tension T = 9.82 KN.

Mais le mouvement de la masse en rotation crée une tension supplémentaire dans le lien suivant une loi sinusoïdale fonction de l’angle de l’instant = a et de l’angle de l’amplitude maximum = A

T = 9.82 x M x (3 x cosinus(a) – 2 cosinus( A))

Ainsi avec une amplitude d’oscillation de 90° la tension dans le lien est multipliée par 3 quand le pendule fait un passage en position basse.

Par contre en position haute la tension passe à zéro.

Cette tension s’exerce sur le lien et provoque une réaction de l’axe qui soutient le lien égale à la tension.

Cette réaction peut être décomposée en deux projections, une horizontale, une verticale.

Ce qui nous intéresse plus particulièrement dans les applications de pendule à la pyramide est la composante horizontale, car elle peut servir de force de propulsion.

Cette composante varie aussi suivant une loi sinusoïdale dont on trouve ci-dessous l’image pour une amplitude maximum de mouvement de 45° et 60°.

On remarquera qu’avec une amplitude de 60° le maximum de la projection horizontale est très proche 85%, de la force engendrée par le poids de la masse, 60% pour 45°.

ForceHorizontale

Ce graphique se limite à une demi-période du mouvement, pour la demi période suivante, la même figure se reproduit, mais inversée.

Ainsi la composante horizontale de la force engendrée par le pendule est nulle en valeur moyenne.

Si l’on veut tirer partie de la force créée dans une moitié de période, pour engendrer un mouvement, il faut naturellement bloquer le mouvement pour la demi période suivante, sinon on obtient un mouvement alternatif, qui peut être intéressant dans certains cas d’utilisation, pour faire se mouvoir une scie par exemple.

Si l’on veut faire avancer une pierre sur un chemin avec un pendule, en la bloquant au moment du recul, on obtient une avance saccadée, la pierre avance d’une longueur pendant une demi période, puis s’arrête pendant l’autre demi période, puis repart de nouveau vers l’avant etc..

Il est important de comprendre que la force horizontale exercée par l’axe du pendule, prend naissance au cœur de la matière.

ELLE N’A BESOIN D’AUCUN POINT D’APPUI POUR S’EXERCER

Par exemple s’il fallait pousser une charge sur une pente verglacée, nul besoin de pneus à clous ou de chenilles pour exercer l’effort d’avancement, par contre il faut bloquer le mouvement de retour.

 

Gestion de l’énergie:

Tant que l’axe du pendule est fixe, le mouvement du pendule ne consomme qu’une d’énergie infime, juste le frottement de l’air et le frottement dans la corde. Quand l’axe fait un mouvement exerçant une force, il produit un travail en consommant l’énergie emmagasinée dans la masse du pendule, si l’on ne fait rien l’amplitude des oscillations diminue rapidement et le mouvement s’arrête.

Il faut rendre à la masse du pendule l’énergie qu’elle à donné, il faut pour ça céder à la masse du pendule une certaine énergie potentielle, par exemple en faisant monter des opérateurs sur la masse au point haut qu’ils quittent au point bas. A ces deux points la vitesse verticale est nulle, donc la totalité de l’énergie potentielle des opérateurs est cédée au pendule.

Mais ici une autre solution est plus performante: laisser des opérateurs sur la masse et leur demander de se dresser sur leurs jambes puis de s’asseoir sur leurs talons en rythme avec le mouvement du pendule, tous ceux qui ont déjà fait de la balançoire comprennent ça!

C’est d’ailleurs la solution générique ultra simple à mettre en oeuvre que je propose dans mon étude.

La question qui se pose alors est la suivante comment permettre à un opérateur faisant de la balançoire de fournir une puissance maximum de 200 W digne d’un sportif professionnel entraîné?

La réponse est simple mais dépend de la morphologie de l’opérateur:

Prenons par exemple un opérateur pesant 80 KG dont la longueur de fémur fait 0.4 m et le tibia 0.4 m aussi, entre la position assis sur les talons et la position debout, son centre de gravité s’est déplacé. Pour simplifier, son corps est composé de 3 masses, celle des pieds et tibias disons 10%, celle des cuisses disons 30% et le reste du corps 60%.

Entre la position assis et debout le centre de gravité des tibias n’a pas bougé, celui des cuisses a bougé de 40 cm, celui du reste du corps de 80 cm, tout se passe comme si 75% de son poids s’était déplacé de 0.8 m, il produit donc un travail de 470 joules à chaque élévation, pour produire une puissance de 200W, il faut une période de  470 / 200 = 2.35 s donc la longueur de la corde doit faire 1.4 m, ce qui est un peut faible pour faire tenir un  solide gaillard. Lestons le à 100 KG, à chaque élévation il produit 590 KJ, la période passe à 2.95 s la longueur de la corde à 2.17 m.

Balancoire

Cet exemple nous enseigne deux choses: il est aisé entre la longueur de corde et le lest de configurer un pendule adapté à une morphologie pour en tirer la puissance voulue, si l’on veut mettre plusieurs opérateurs sur le même pendule, il faut qu’ils aient des morphologies compatibles.

Les châssis auront une hauteur de l’ordre de 2 m et une base de l’ordre de 4 m de long, pour ne pas basculer sous le couple de la composante horizontale et une largeur qui dépendra du nombre d’opérateurs que l’on veut placer sur le pendule entre 1.5 m pour deux opérateurs, 2.3 m pour 4, 3 m pour 6 et 4 m pour 8.

On peut se poser la question à quoi bon un pendule?

La réponse est très simple et évidente, le pendule exerce une force proportionnelle à sa masse, si l’on veut engendrer une grande force, il suffit d’un pendule lourd, d’une bonne corde pour le soutenir et d’un châssis assez solide pour supporter le tout.

On peut donc créer une force importante à la fois horizontale et verticale d’une façon concentrée.

 

Par exemple dans la fonction de pousseur d’assise, qui nécessite peu de puissance, peu de déplacement, mais une force élevée et calibrée.

Pour fixer les idées, un bloc de parement de 6 t posé sur le mortier qui va le sceller, présente une force résistante de l’ordre de 20 à 30 KN pour ripper sur sa base, un pendule (en cuivre) pesant 3 à 4 t, actionné par un seul opérateur peut y parvenir aisément mais surtout avec PRECISION.

pousseur-assise

On peut s’en servir aussi pour pousser les blocs dans les rampes d’accès du Nil au chantier.

ParementNilGizeh

 

le gain en effectif par rapport à la traction en nombre avec des cordes est faible, mais le fonctionnement est sûr et régulier car on est à l’abri de glissades collectives quand la chaussée a été polluée par la sueur des pieds des nombreux opérateurs passant à la suite sur le même parcours.

Il est important de comprendre que le pendule permet de gérer indépendamment la force exercée qui ne dépend que du poids suspendu et de l’angle d’oscillation et la puissance produite qui ne dépend que du nombre d’opérateurs faisant de la balançoire.

Ainsi un seul opérateur chevauchant un pendule peut exercer la force de 100 opérateurs et plus tirant ou poussant ensemble. Pour exercer leur force les 100 opérateurs ont besoin d’un solide point d’appui non glissant pour leurs pieds, pour exercer la même force, le pendule n’a besoin d’aucun point d’appui.